角度計算

円錐台のテーパー角度を計算する公式を教えてください。

広いほうの円の直径＝Ｘ
狭いほうの円の直径＝Ｙ
高さ＝Ｈ
テーパー角＝θ（両角）

No.2 ベストアンサー 回答者： mini_ta3298 回答日時： 2006/08/07 10:16

テーパー角（αとします）は基準線に対する傾斜角度でありますから、御質問のような円錐台の場合は、円錐の稜線と垂直線のなす角度を示します。

ただし御質問文中で、円錐台であること・敢えて両角と謳われていることから想像して、円錐台を投影したときの稜線同士がなす角度をθと勝手に判断して回答します。

結論は最後に申しますが、説明は図形を元にしますので、まずはじめに円錐台の横から見た図（上底をＹ・下底をＸとする高さＨの台形）を描いてみると解りやすいかと思います。
次に上底Ｙの両端から下底Ｘに２本の垂線を引くと、台形は左から、直角三角形・長方形・直角三角形の３つに分割されます。
ここで、直角三角形の傾斜部分の角度（テーパー角：α）がわかれば、θはテーパー角αの２倍に相当しますから、θ=２ｘα として答えが導き出せることになります。

テーパー角αは、直角三角形の頂点Ｙの角度です。
直角三角形の２辺はそれぞれ、H と (X-Y)/2 ですから、三角関数を用いて次のような式が成り立ちます。

tanα=((X-Y)/2)/H　すなわち公式的には

α=arktan((X-Y)/2)/H

として表されます。ご存知とは思いますが、一応 arktan はアークタンジェントで、tan^-1 （タンジェントのマイナス１乗）と表記されるものです。
これに α=θ/2 を代入すると、

θ=2×(arktan((X-Y)/2)/H)

としてθが導き出されます。


#1様の回答は、上の直角三角形の他方の角度を求めるような式となりますから、この値を90度から引くことでαとなり、２倍してθが得られます。
ただし、XとYの大小関係を逆に誤解されているようにも感じます。
#1様の貴重な回答に異論があるわけではなく、大筋では同じ考えに基づきますので、寛大に＾＾

No.1 回答者： optimumsoup 回答日時： 2006/08/06 21:01

両角はどれをいうか知りませんが、円錐の稜線と底面のなす角をθとすると

tanθ=2H/(Y-X)となり
θ=arctan(2H/(Y-X))となるようです。