統計学 最大値の標準偏差

母集団分布が平均m、分散Vの正規母集団に対して、標本数nの標本平均μの分布は平均m、分散V/nになるかと思います。
標本数nの最大値Ｌはどの様な分布になるか分かるでしょうか？

質問者からの補足コメント

• ありがとうございます。
  すごいです。
  
  最大値の場合、kを0にすべきか1にすべきか不明ということでしょうか？
  
  この分布の標準偏差とか平均とかはいくつになるでしょうか？

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/02/03 11:46

• 最大値の場合、kをn-1にすべきかnにすべきか不明
  
  ということですかね？

    補足日時：2023/02/03 14:30

• なかなか難しいのですが、下の方にある式の左辺がdistからfに変わったのはxkの分布がxの分布に等しいと仮定したという事でしょうか？
  
  スターニングの式より矢印の下の式の方が正確という事でしょうか？
  
  あまり詳しくないので申し訳ありません。

  No.6の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/02/06 11:46

• 

  どうもありがとうございます。
  
  観測数が1個の時は最大値の分布は母集団と同じで、kamiyasiroさんの数え方ではn=2となり最大値はk=1でx1となるかと思います。
  ↓の下の式の右辺は
  2F(x)(1-F(x))f(x)
  となります。母集団のxの分布f(x)と一致しません。どう考えたらよいしょうか？

  No.7の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/02/06 17:36

No.5 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/02/03 20:22

間違えました。

誤）０個目と101個目はカウントしなければなりません。
↓
正）０個目と101個目はノーカウントにしなければなりません。

No.4 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/02/03 20:20

正規分布のような、永遠にすそ野が広がるデータは、０％点とか100％点は無いんです。

ー∞と∞ですね。

ｎ＝100なら、101個データがあると考えて、０個目と101個目はカウントしなければなりません。

ですから、あの論文の式はそのままでは使えません。なぜなら上下対称ではないからです。

私は自分で式を変形して、確率も上下で等しくなることを確認したんですが、その時のメモ（電子ファイル）が出て来ないんです。ちょっとお待ちくださいね。

No.3 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/02/03 16:32

具体的な計算式（プログラムのスクリプト）と、分布形状のグラフを回答しますので、1～2日お待ちください。

No.2 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/02/02 20:47

私は確率紙プロットを自作するときにこの式を使いましたが（添付図）、計算上の信頼区間を出すことは出来ました。

合っていると思います。

横軸が生データ、横方向の幅がばらつきになります。

No.1 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/02/02 20:27

k番目のデータ xk が従う分布 dist(xk) は、累積密度F(x)、確率密度f(x)から添付図の式によって計算されます。

非対称分布です。
確率紙プロットの信頼区間を描画するときに使います。

原著論文
Stirling W.D.（1982） 『Enhancements to Aid Interpretation of Probability PLots.』 The statistician 31，pp211-220

日本語解説
http://www.statgenet.med.kyoto-u.ac.jp/wiki_toky …

ただ、下側を１番目からカウントすると、最後はｎ番目なんですが、それは上側からカウントすると０番目になるんですよね（１番目ではない）。私はそれが理解できません。