行列式について。 行列式の問題（手計算でできるもの）の中には文字が含まれていて尚且つn次行列式になっ

行列式について。
行列式の問題（手計算でできるもの）の中には文字が含まれていて尚且つn次行列式になっているものがありますが、これを正しく素早く解くコツはありますか？今の所私がやってきたこと（思いついたこと）は
・有名なものは変形方法を覚えておく、結果も何となく覚えておく。
・共通因数作って括り出せるように変形する。
くらいです。他にもコツがあれば教えていただきたいです。行列式は時間をかければできることが多いのですが試験ではそうもいかないので少しでも多く知りたいです。
あと、有名なものと言いましたがそんなに知らないのでこの行列式くらいは知っとけというのがありましたら列挙していただきたいです。

質問者からの補足コメント

• 質問文を読んでいただくと書いてあるかと思うのですが、数学の試験とかの話です。コンピュータを使った方がいいのは分かった上で、手計算の話をしています。よろしくお願いします。

    補足日時：2023/02/22 07:31

No.3 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/02/22 08:46

基本的な

行展開、列展開、基本変形の手法は覚えておくにしても
規則性のある行列に関しては
>・有名なものは変形方法を覚えておく、結果も何となく覚えておく。
はかなり有効だと思う。このへんは因数分解と似てると思う。

No.4 回答者： yukkurine 回答日時： 2023/02/23 21:58

知っているかもしれないがヴァンデルモンドの行列式は有名だと思う。

https://manabitimes.jp/math/779

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/02/22 08:10

意味がよくわかりませんが

文字ということなら、数値計算でなく、簡単な数式になることが
想像される問題と思われます。

つまり、あなたの方法と、もう一つは、因数分解できて、項数が
1、2個の結果となることが想像されます。すると、計算結果の項
数が少なくなるということは、列または行の要素をなるべく0にし
て、展開するとよいことが分かる。

たとえば
　行列式 A=(a[i,j]) を a[i,i]=a , a[i,j]=1 (i≠j) とする。つまり
　A=[a,1,1,1,・・・・・,1]
　　[1,a,1,1,1,・・・・,1]
　　[1,1,a,1,1,1,・・・,1]
　　　・・・・
　　[1,1,1,・・・・,1,a,1]
　　[1,1,1,・・・・,1,1,a]

　である。n=4まで計算して、A=(a-1)ⁿ⁻¹(a+n-1)　と予想する。

　順次、1行←(-2行)、2行←(-3行)、・・・、(n-1)行←(- (n行))を実行する。すると、下記を得る。
　A=[a-1,1-a,0,0,・・・・・,0]
　　[0,a-1,1-a,0,0,・・・・,0]
　　[0,0,a-1,1-a,0,0,・・・,0]
　　　・・・・
　　[0,0,0,・・・・,0,a-1,1-a]
　　[1,1,1,・・・・・・・,1,a]

　これは１行から(n-1)行まで、それぞれ(a-1)の係数が出せて
　A=(a-1)ⁿ⁻¹×[1,-1,0,0,・・・・・,0]
　　　　　　　[0,1,-1,0,0,・・・・,0]
　　　　　　　[0,0,1,-1,0,0,・・・,0]
　　　　　　　　　・・・・
　　　　　　　[0,0,0,・・・・,0,1,-1]
　　　　　　　[1,1,1, ・・・・・,1,a]
　となる。つぎに

　順次、2列←(+1列)、3列←(+2列)、・・・、(n列)←(+ (n-1))列を実行すると、下記を得る。

　A=(a-1)ⁿ⁻¹×[1,0,0,0,・・・・・,0]
　　　　　　　[0,1,0,0,0,・・・・,0]
　　　　　　　[0,0,1,0,0,0,・・・,0]
　　　　　　　　　・・・・
　　　　　　　[0,0,0,・・・・,0,1,0]
　　　　　　　[1,2,3, ・・・,n-1,a+n-1]
　となる。

　すると、対角部の右側がすべて0であることに注意して(1,1)から順次、展開して計算していくと、
　行列式は最後に (a+n-1)となる。

　すなわち
　　　A=(a-1)ⁿ⁻¹(a+n-1)
　を得る。