標準偏差は平均値との差分ですか？中央値との差分ですか？どちらでもないですか？

標準偏差は平均値との差分ですか？中央値との差分ですか？どちらでもないですか？

No.7 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/03/11 20:44

「たとえ一様分布であっても、有限サンプルのときは、標準偏差を計算するときの乖離の基準は算術平均を使うべき」について補足。

ネットで調べると、「一様分布の分散」という式が出ています。

だがしかし、学校の問題（もちろん大学でも企業でも）で、ヒストグラムを描いてみたらほぼ一様分布じゃん、というデータがあったとき、上記の式に代入して標準偏差を求めるとダメなのです。

これに対して、授業では疑問に思うかもしれませんが、キチンと算術平均を求めて、そこからの乖離の２乗和の平均の平方根として標準偏差を求めています。
というか、殆どの人は疑問も持たずに、この計算をします。

なぜなんですか！と先生に聞いても、「有限サンプルだから」的な答えしか返ってこないと思いますが、本当の理由は、現状サンプルの正しいモーメント中心を使うという点にあります。

No.6 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/03/11 20:13

標準偏差を定義できるのは、正規分布に限りませんよ。

標準偏差の２乗は分散ですが、
分散Vの定義は、「２次の中心積率」です。

確率密度関数をf(x)、スコア関数をg(x)としたとき、

V(g(x))＝∫{g(x)ーμ}^2・f(x)dx

で、別にf(x)は一様分布でもOK。

問題は、この式の中心μに何を使うかです。これがご質問者の疑問ですよね。

中心積率って中心を引いているし、記号μが使われているけど、そもそもμって何？

一般的にμの定義は、１次の積率、

μ＝∫g(x)f(x)dx

しかし・・・、
例えばf(x)が一様分布のとき、一様分布の平均μは、２通りあって、

μ＝{max(x)ーmin(x)}/2 （最尤推定解）を使うのか、
μ＝1/n・Σx＝∫g(x)f(x)dx（１次の積率）を使うのか、

ということに悩みますが、一次の積率は「平方損失を最小化した決定」に等しいので、これを使います。

サンプルが無数にあるときは両者は一致しますが、有限サンプルのときは、標準偏差を計算するときの乖離の基準は算術平均を使うべきなのです。

ちなみに正規分布やポアソン分布の平均は、最尤推定解も平方損失最小の決定に一致しますので、一様分布のように悩ましいことはありません。

積率ってモーメントの考え方なんですよ。
尖度、歪度も同じモーメントの指標です。

No.5 回答者： isoworld 回答日時： 2023/03/11 19:20

どちらでもありません。

ごく簡単に言うと、バラツキの程度です。

母数がガウス分布（正規分布）している場合に（そういう前提で）、平均値からどれだけバラついて偏っているか、の程度です。

No.4 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/03/11 14:08

平均です。

一般的には、次のように言われますが・・・、
①平均は１次のモーメント。簡単に言えばヤジロベエが釣り合う点。
標準偏差の２乗である分散は２次のモーメント。平均を支えて回したとき、どれだけ回し辛いかという抵抗のような量。
②中央値は確率的中点。

でも、視点を変えると・・・、
①平均は「平方損失」を最小化した点ｄ
②中央値は「絶対損失」を最小化した点ｄ
ｄのことを統計用語で「決定」と言います。

ということは、平均値そのものが、標準偏差なる「乖離の２乗和の平均の平方根」の値を最小化した点なのです。

「ある点からの乖離の２乗和の平均の平方根」を仮の標準偏差とすると、それを最小化する「ある点」が平均値です。

ちょっと、前後が逆転してヘンな感じですけどね。

証明を添付しておきます。微分して０と置いて極小値ｄを探すと、平均値や中央値になるという証明です。

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2023/03/11 14:07

「標準偏差」の意味を 理解して下さい。

平均値と どのくらい離れているかを示す 数値です。
実際の計算では 各データの値と 平均値との差を 二乗した合計数値の平均の
正の平方根を 標準偏差と云います。
（平均値との 差の合計だと 常に 0 になってしまうので 二乗します。）

No.2 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/03/11 13:36

おおよそ、(平均値との差分)を平均したもの。

(平均値との差分)のままだと、全部足すと±0になってしまうので、

(平均値との差分)²の平均を√で開く。

No.1 回答者： ogi_3 回答日時： 2023/03/11 13:11

標準偏差とは簡単に言うと、平均からのズレを表す数値のこと。

標準偏差を求めることで、平均に対する数値の散らばり具合（ばらつき）を知ることができます。