線形代数 正則 階数

n次正方行列Aとし、Aが正則の時階数rank(A)=nということの証明なのですが教科書には
"Aに基本変形をして階数標準形にする、つまりP,Qを基本行列の積、rank(A)=rとしてPAQ=F(r)。P,Qは正則であり、Aも正則とするとPAQも正則なのでrank(A)=nとなる。"
とありました。階数標準形は対角成分が１か０、対角成分以外は０のものでそれはわかります。P,Qが正則であることもわかります。しかし、PAQも正則なのでrank(A)=nのところがわかりません。冷静に考えて正則なら階数がnということを示す証明なので何か省略されているのだと思います。ちなみにこのページまでに行列式はまだふれられていません。また正則ならかけても階数を変えないなどのこともふれられていません。転置行列に関してはもう扱っているようでした。一体どう証明しているのか気になります、教えていただきたいです。

No.2 ベストアンサー 回答者： cage64 回答日時： 2023/03/22 16:35

背理法により、F(r)が正則⇒F(r)の対角成分はすべて１（つまりF(r)は単位行列）、だからです。

（証明）
n次正方行列Xが正則 ⇔ XA=AX=E (Eはn次単位行列) となるようなn次正方行列Aがある
ですから、
F(r)のどこかの(k,k)成分が0であれば、
F(r)のk行、およびk列はすべて0であり、行列の掛け算の定義から
任意の正方行列Aについて、F(r)Aのk行成分はすべて0、AF(r)のk列成分もすべて0 です。
なので、F(r)A,AF(r)が単位行列になることはありません。
したがって、F(r)のすべての対角成分は1です。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/03/22 16:43

ポイントは、次元定理かな。

A が n 次正方行列であれば、 dim Im A + dim Ker A = n が成り立ちます。

これに、dim Im A = rank A と、
A が正則　⇔　逆行列 A^-1 が存在　⇔　写像 x→Ax が全単射　と
写像 x→Ax が単射　⇒　Ker A = { 0 } を組み合わせると、
rank A + 0 = n が導けます。

この過程で、階段行列がどうとか標準変形がどうとかの
行列の成分計算と関係するのは、
dim Im A = rank A に関して rank の定義と深く関わる部分:
rank A = (行列 A の小行列で行列式が ≠ となるものの最大次数)
　　　= (行列 A の列で一次独立なものの最大数)
　　　= (行列 A の行で一次独立なものの最大数)
という公式です。
これさえ成分計算で示せてしまえば、あとは線型写像に関する議論で済みます。
美しい定理に醜い証明は無用だと思うのです。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/03/22 11:51

●線形代数入門、斎藤、定理4.3 のことと思います。

PAQ=F(r) が正則なら、0≠|PAQ|=|F(r)| であり、r<n なら
|F(r)|=0 なので、r=n となる。