res(g(z),a) =1/(n-1)! lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^n

res(g(z),a)
=1/(n-1)! lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^n g(z)
にg(z)=1/(z+1)を代入しても、

={1/(n+1)lim_(z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}にならないのですが、なぜでしょうか？

過去に、2022.1.22 04:03に解答していただいた時はg(z)=1/(z-1)としてから、
画像のような過程の計算を挟んで
{1/(n+1)lim_(z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}を導きましたが。

No.7 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/03/27 14:10

＞ 画像ではg(z)=1/(z+1)からa(n)の式を導いていません

＞ f(z)=1/(z^2-1)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-1)^n
＞ のa(n)の式を導いている

なあんだ。質問文に res(g(z),a) とあるから騙されたよ。
結局、毎度毎度指摘している
「記号を定義せずに計算だけズラズラ並べても
数学の議論をしたことにはならない」って話に尽きるな。

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/03/27 14:06

No.3 の誤字訂正：

そもそも g(z) = 1/(z+1) + 0 + 0(z+1) + 0(z+1)^2 + 0(z+1)^3 + ...
自体がローラン展開なのだから、式の係数を見れば
Res[g(z),-1] = 1 であることは自明。

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/03/27 10:02

f(z)=1/(z^2-1)

はz=1で1位の極をもつから
のz=1のまわりのローラン展開は
f(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-1)^n
1/(z^2-1)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-1)^n
↓両辺に(z-1)をかけると
1/(z+1)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-1)^(n+1)
↓両辺を(n+1)回微分すると
(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!a(n)+Σ_{m=n+1～∞}{(m+1)!/(m+1-n)!}a(m)(z-1)^(m+1-n)
↓z→1とすると
lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!a(n)
↓両辺を(n+1)!で割ると
{1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=a(n)
∴
a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}…(1)

画像では(1)の右辺を求めている

g(z)=1/(z+1)とする
↓k回微分すると
(d/dz)^(k){g(z)}=k{(-1)^k}/(z+1)^(k+1)
↓g(z)=1/(z+1)だから
(d/dz)^(k){1/(z+1)}=k{(-1)^k}/(z+1)^(k+1)

↓k=n+1とすると

(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!{(-1)^(n+1)}/(z+1)^(n+2)
↓z→1とすると
lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=lim_{z→1}(n+1)!{(-1)^(n+1)}/(z+1)^(n+2)
lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!{(-1)^(n+1)}/2^(n+2)
lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!{-1/(-2)^(n+2)}
∴
{1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=-1/(-2)^(n+2)
↓(1)の右辺を求められたから
∴
a(n)=-1/(-2)^(n+2)

この回答へのお礼

ありがとうございます。
あの、先程は
「a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}

画像ではこの右辺の
(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}
を
求めているのです」...①

でしたが、こちらでは

「a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}…(1)

画像では(1)の右辺を求めている」...②
と言っていますが、

g(z)=1/(z+1)はa(n)={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}の右辺の
(d/dz)^(n+1){1/(z+1)を求めるためのものではなかったのでしょうか？

①と②どちらが正しいのでしょうか？

お礼日時：2023/03/28 00:14

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/03/27 05:09

画像ではg(z)=1/(z+1)からa(n)の式を導いていません

f(z)=1/(z^2-1)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-1)^n
のa(n)の式を導いているのは以下の通り

f(z)=1/(z^2-1)
はz=1で1位の極をもつから
のz=1のまわりのローラン展開は

f(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-1)^n

1/(z^2-1)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-1)^n
↓両辺に(z-1)をかけると
1/(z+1)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-1)^(n+1)

↓両辺を(n+1)回微分すると

(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!a(n)+Σ_{m=n+1～∞}{(m+1)!/(m+1-n)!}a(m)(z-1)^(m+1-n)

↓z→1とすると

lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!a(n)

↓両辺を(n+1)!で割ると

{1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=a(n)

∴
a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}

画像ではこの右辺の
(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}
を
求めているのです
-----------------------
res(g(z),a)からa(n)を求めているのではありません
res(g(z),a)のg(z)は
g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
であって
g(z)=1/(z+1)ではありません

この回答へのお礼

ありがとうございます。
「a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}

画像ではこの右辺の
(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}
を
求めているのです」
に関して、もう少しわかりやすく教えていただけないでしょうか？
というのも、
画像にはa(n)={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}の式の右辺の
(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}
を求めているような事が書いていないためです。

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2023/03/27 06:06

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/03/27 00:20

また今回も記号を定義せず使っている...

延々繰り返しても、一向に向上しないねえ。

g(z) が z=a に n 位の極を持つとき、
g(z) の z=a における留数が
Res[g(z),a] = {1/(n-1)!} lim[z→a] (d/dz)^(n-1) (z-a)^n g(z)
だって話でしょう？

それなら、g(z) = 1/(z+1), a = -1 のとき n = 1 だから
Res[g(z),-1] = {1/0!} lim[z→-1] (d/dz)^0 (z-(-1))^1 { 1/(z+1) }
　　　　　= {1/1} lim[z→-1] (z+1)/(z+1)
　　　　　= lim[z→-1] 1
　　　　　= 1　　　　　になる。
そもそも g(z) = 1/(z+1) + 0 + 0z + 0z^2 + 0z^3 + ...
自体がローラン展開なのだから、式の係数を見れば
Res[g(z),-1] = 1 であることは自明。

= {1/(n+1)} lim[z→1] (d/dz)^(n+1) { 1/(z+1) }
には、最初からなるワケがない。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/03/26 21:30

g(z)がz=aでn位の極をもたなければ

res(g(z),a)=1/(n-1)! lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^n g(z)
は間違いです

g(z)=1/(z+1) はz=-1で　1位の極を持つから

res(g(z),-1)
=1/(1-1)! lim[z->-1](d/dz)^(1-1)(z+1)^1{1/(z+1)}
=1

この回答へのお礼

解答ありがとうございます。
ですが、画像ではg(z)=1/(z+1)からa(n)の式を導いていますが、g(z)=1/(z+1)からa(n)の式を導いたのではなく、g(z)=1/(z+1)をk=n+1回微分したg(z)の式からa(n)を導いたという事ですか？

お礼日時：2023/03/26 21:43

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/03/26 21:12

res(g(z),a)

=1/(n-1)! lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^n g(z)
にg(z)=1/(z+1)を代入しても
{1/(n+1)lim_(z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}
になるわけないじゃん. a はどこにいったんだよ.

あと n はどうするつもりなんだ.