数学の写真の問題についてです。 この問題って(u−v)で場合分け(正と負のときで)しなくていい理由は

数学の写真の問題についてです。
この問題って(u−v)で場合分け(正と負のときで)しなくていい理由は何でしょうか？

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/03/31 04:50

(6(cosθ)^2+cosθ-2)(u-v)+cosθ≧0

(3cosθ+2)(2cosθ-1)(u-v)+cosθ≧0

(3cosθ+2)(2cosθ-1)≠0
と仮定する

u,vは任意の実数だから

v=0
u=-2/{(3cosθ+2)(2cosθ-1)}
(とする事ができるから)とする

u-v=-2/{(3cosθ+2)(2cosθ-1)}
↓両辺に(3cosθ+2)(2cosθ-1)をかけると
(3cosθ+2)(2cosθ-1)(u-v)=-2
↓両辺にcosθを加えると
(3cosθ+2)(2cosθ-1)(u-v)+cosθ=-2+cosθ

cosθ≦1 だから
↓両辺に-2を加えると
-2+cosθ≦-1 だから

(3cosθ+2)(2cosθ-1)(u-v)+cosθ=-2+cosθ≦-1
(3cosθ+2)(2cosθ-1)(u-v)+cosθ≦-1
(3cosθ+2)(2cosθ-1)(u-v)+cosθ≦-1<0
(3cosθ+2)(2cosθ-1)(u-v)+cosθ<0
となって
(3cosθ+2)(2cosθ-1)(u-v)+cosθ≧0
に矛盾するから

(3cosθ+2)(2cosθ-1)=0
でなければならない

(3cosθ+2)(2cosθ-1)=0
だから

cosθ≧0
となる

逆に
(3cosθ+2)(2cosθ-1)=0
cosθ≧0
ならば
任意の実数(u-v)に対して
(3cosθ+2)(2cosθ-1)(u-v)+cosθ=cosθ≧0
となるから

(3cosθ+2)(2cosθ-1)=0
cosθ≧0

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/03/31 13:57

その写真の解説に書いてあるように、

(3cosθ+2)(2cosθ-1) (u-v) + cosθ ≧ 0 という式は
任意の実数 (u-v) に対して成り立たなければなりません。

ax + b ≧ 0 が任意の実数 x について成り立つ条件は
a = 0 かつ b ≧ 0 なので、　←[1]
(3cosθ+2)(2cosθ-1) = 0 かつ cosθ ≧ 0　←[2]
と変形しているのです。

y = ax + b のグラフを考えてみましょう。
[1] の時点で x が正の場合も負の場合も考慮してあるのだから、
[2] で (u-v) が正の場合も負の場合も考慮してあることになります。
だから、場合分けは要りません。

この回答へのお礼

場合分けの目的は、細分化することだと思っていましたが、他の問題は分化が(先に)必要であることに気づきました！ありがとうございます

お礼日時：2023/04/01 02:55