整数問題６ 三角形とtan

三角形 ABC において、tanA, tanB, tanC の値がすべて整数であるとき
それらの値を求めよ.

補足
tan と言えば傾きですが、なかなか上手にいきません
今、試行錯誤の上、別のアプローチで考えています

識者の方々の考え方も教えてください

何卒宜しくお願い致します

from minamino

質問者からの補足コメント

• 

  いつもお世話になっております。
  
  貴殿のような考え方が主流なのでしょうが
  
  私は、論理に弱いので図で勝負です
  
  貴殿の
  
  ご評価、ご指導をお待ちしております。
  
  
  from minamino

  
  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/04/08 14:43

• 

  おはようございます
  
  今回もご指摘ありがとうございます。
  
  一瞬、凹みましたが、気を取り直して、Vectorで
  
  再度、考えてみました
  
  ご評価、ご指導ください

  
  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/04/09 06:43

• おはようございます
  
  図を再度作成しました
  
  ご評価、ご指導ください

  
  No.5の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/04/09 06:45

• 

  tanA=1ですでにA=45
  tanB=2 で62
  
  これらを始めに考えれば
  
  私の座標設定は自然です

  No.7の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/04/10 09:25

• 

  tanA=1=45°、tanB=2=63.4, tanC=3=71,5
  
  これをはじめに考えて考察をはじめています、
  
  
  三角形の内角の和を考えれば
  
  tanD=4 を考えるのは不適
  
  tanA=1, tanB=2,tanC=3　のみで議論する
  
  後は、この条件下で三角形をなすのか証明すれば良い
  
  十分に証明したつもりですが
  
  
  from minamino

  No.8の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/04/10 13:46

• 

  題意の最も小さくなる値は
  
  tanA=1=45°
  
  この時点で三角形ABCは鈍角三角形ではない
  
  鋭角三角形なら
  
  tanA=1, tanB=2,tanC=3
  
  しかないでしょって

  No.9の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/04/10 14:51

• 

  新たな角D を考えても
  tanD=4の解は
  x≒76°
  
  このとき、三角形をなさない

    補足日時：2023/04/10 15:31

• 

  おはようございます
  
  早速ですが
  
  >写真の答案の中味はほぼ必要ない
  
  それは、あり得ないです
  
  まず、私の答案の図でvectorを使い三角形をなすか示す必要がある
  
  また、その後、tanC=3 である事を必ず示す必要性があります
  
  何故なら、設定した図から、tanC=3　は述べられていない
  
  以上
  
  from minamino

  No.10の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/04/13 10:44

• 

  これ以上は議論の無駄出す
  
  これで貴殿とのやりとりはご勘弁してください

  No.12の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/04/13 14:05

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/04/08 19:49

A,B,C は三角形の内角だから A+B+C = π.　←[0]

tan の加法定理より、
0 = tan π = tan(A+B+C)
　= { tanA + tan(B+C) }/{ 1 - tanAtan(B+C) }
　= { tanA + (tanB + tanC)/(1 - tanBtanC) }/{ 1 - tanA(tanB + tanC)/(1 - tanBtanC) }
　= { tanA(1 - tanBtanC) + (tanB + tanC) }/{ (1 - tanBtanC) - tanA(tanB + tanC) }
　= { tanA + tanB + tanC - tanAtanBtanC }/{ 1 - tanAtanB - tanBtanC - tanCtanA }.
⇔ tanA + tanB + tanC = tanAtanBtanC.　←[1]

絶対値を考えると、
|tanAtanBtanC| = |tanA + tanB + tanC| ≦ |tanA| + |tanB| + |tanC|.
対称性より |tanA| ≦ |tanB| ≦ |tanC| で考えても一般性を失わない。
よって、|tanAtanAtanC| ≦ |tanAtanBtanC| ≦ |tanA| + |tanB| + |tanC| ≦ 3|tanC|.　←[2]

A,B,C > 0 と [0] とより、 A,B,C < π.
この範囲で、tanA, tanB, tanC が =0 になることはない。　←[3]
よって、[2] の両辺を |tanC| で割ることができて、 |tanA|^2 ≦ 3.
これを満たす整数 tanA は、 [3] も考慮すると tanA = ±1 に限られる。

tanA = 1 のとき、 [1] は 1 + tanB + tanC = tanBtanC.
変形して、 (tanB - 1)(tanC - 1) = 2.
右辺の素因数分解を考えれば、これを満たす整数は
(tanB - 1, tanC - 1) = (2,1), (1,2), (-2,-1), (-1,-2).
すなわち (tanB,tanC) = (3,2), (2,3), (-1,0), (0,-1).
[3] より (tanB,tanC) = (3,2), (2,3).

tanA = -1 のとき、 [1] は -1 + tanB + tanC = -tanBtanC.
変形して、 (tanB + 1)(tanC + 1) = 2.
右辺の素因数分解を考えれば、これを満たす整数は
(tanB + 1, tanC + 1) = (2,1), (1,2), (-2,-1), (-1,-2).
すなわち (tanB,tanC) = (1,0), (0,1), (-3,-2), (-2,-3).
[3] より (tanB,tanC) = (-3,-2), (-2,-3).
ただし、 A,B,C > 0 と [0] とより
A,B,C のうち >π/2 となるものは高々 1 個であり、
tanA,tanB,tanC のうち <0 となるものは高々 1 個。
よって、tanA = -1 の解は全て不適である。

以上より、対称性を考慮して
{ tanA,tanB,tanC } = { 1,2,3 }.

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/04/08 11:05

A+B+C=π

C=π-(A+B)

tanC
=tan{π-(A+B)}
=-tan(A+B)
=-(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
=(tanA+tanB)/(tanAtanB-1)

tanC=(tanA+tanB)/(tanAtanB-1)

tanA=1,tanB=2 のとき　tanC=(1+2)/(2-1)=3
tanA=1,tanB=3 のとき　tanC=(1+3)/(3-1)=2
tanA=2,tanB=3 のとき　tanC=(2+3)/(6-1)=1