数学の質問です。 cos∠BCD＝−1/6とします。「∠BCD＝θと置いて、cosθ＝-1/6」

Question

数学の質問です。
cos∠BCD＝−1/6とします。
「∠BCD＝θと置いて、cosθ＝-1/6」
って変に思います。

なぜなら
∠BCDは既に、図形上に存在している角度なので、定数です。
しかし、∠BCD＝θとおいてしまえばθが変数になるので、定数＝変数となり矛盾が生じてしまいます。

どうすれば正しい解釈になりますか？

yhr2 · Accepted Answer

No.4 です。

質問者さんは、「直角三角形を使った三角比」のアタマしかないので、
・角度は 0～90°
・辺の長さは「正」
・従って、sin, cos, tan は正の値
という感覚なのでしょう。

なので
　cosθ = -1/6　（負の値！）
とか
　180° - θ
　90° - θ
といったものが「直感的に」理解できないだけなのだと思います。

単位円を書いて、単位円の円周上の座標 (x, y) （-1≦x≦1, -1≦y≦1）に対して、x軸から反時計回りになす角 θ （0≦θ<360°）を使って
　x = cosθ
　y = sinθ
　y/x = tanθ
となることをきちんと理解しましょう。

yhr2 · Answer

＞∠BCD＝θとおいてしまえばθが変数になるので、

「変数」にある値を当てはめれば、その値になります。
「ある値」はいくつであってもよいですが、決まった値で変化しなければ「定数」と呼ぶこともあります。
決まった値であっても「いくつか分からないとき」は「変数」と読んだり「未知数」と呼んだりもします。

いったい、何を問題として論じたいのか分かりませんが、
　角度と、その角度が作る三角比の関係
は、「θという角度」「∠BCDという角度」が「変数」であろうが「定数」であろうが「未知数」であろうが、変わりません。

kairou · Answer

＞「∠BCD＝θと置いて、cosθ＝-1/6」って変に思います。

別に 変ではありませんよ。
cosθ と云う三角関数の値が -1/6 と決まったのですから、
それに対応する 角度 θ が 決まる筈なので 定数です。
図形などで 示される角度なら 1つに決められることが多いです。
（実際に cosθ=-1/6 が成り立つ θ は 約99.6° です。）

cosθ＝ で右辺が決まっていなければ θ は 変数と云えるでしょう。

tknakamuri · Answer

うーん、定数と変数なんだけど

定数：　
式の中で変化しない数と考えられるもの。
具体的な数値はもちろん定数だけど、定数a のように
具体的な値を指定しない場合も定数であることがあります。

変数：
式の中で自由に値が変えられる数と考えられるもの。
但し方程式の制約で値の範囲が決まったり、
一つの値に決まってしまうこともあり、
結果的に定数になってしまうこともあります。

だから 変数=定数
と結果的になってもなんら問題ありません。
方程式を解くとたいていこの形になります。

独立変数だ、従属変数だとか言い出すと話が
ややこしくなるので、
＃厳密な話は結構奥が深いらしい・・・
とりあえずこの程度の理解でよろしいかと。

yhr2 · Answer

No.1 です。
具体例で書きましょうか。

「晋三君は１個100円のミカンを x 個買ったときの値段が 500円だった。
買ったミカンは何個か。」

という問題があったときに、「ミカンの個数 x」と「支払った代金 y」の関係は
　y = 100x
と表せます。
これは「関数」でであり、x も y も「変数」です。
「１個100円のミカン」の「100」は、決まった値ですから「定数」です。

これを使って上の問題を解くときには、y=500 を代入して
　500 = 100x
から
　x = 5 [個]
と求まります。
x, y は変数ですが、y=500 のいう値のときには x=5 という値に定まります。
それが「関数の変数」なのです。一方を決めれば、他方が定まる。
問題を解くときには、条件として数値が与えられた方の「変数」は「決まった値」になり、求める方の「変数」は「未知数」になります。

あなたが言っている

「cos∠BCD＝−1/6」

とは、∠BCD＝θ とおいて
　y = cosθ
という「変数 θ と y の関係を示す関数」を使って
　y = -1/6 になるときの θ の角度はいくつか
という「答」「解」を求めることに相当するものです。

そのときには
　変数 = 未知数 = 決まった値
になります。

あなたが言っている

＞定数＝変数となり矛盾が生じてしまいます。

は「変数 = 未知数 = 決まった値」となるだけなので、何の矛盾も生じません。

質問者さんは、中学で習う「三角比」と、それを「関数」に拡張した「三角関数」の関係が、頭の中で整理できていないのでしょうね。
「三角比」は「角度が決まった値」のときの「辺の長さの比」ですが、「三角関数」はそれを「任意の角度、辺の長さの比」に拡張した「関数」にしたものです。
さらには「単位円」という考え方を使って「辺の長さ」を「x, y 座標」に置き換えて「負の値」にまで拡張することで、0～360°のすべての角度に対応するようにしています。
その基本的な「考え方」を、一度自分の中でじっくり整理して納得するところまで突き詰めた方がよいと思います。（「突き詰める」といってもたいした話ではないので）

数学の質問です。 cos∠BCD＝−1/6とします。 「∠BCD＝θと置いて、cosθ＝-1/6」

＞∠BCD＝θとおいてしまえばθが変数になるので、

＞「∠BCD＝θと置いて、cosθ＝-1/6」って変に思います。

うーん、定数と変数なんだけど

No.1 です。

No.4 です。

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