写真の式を逆ラプラス変換して下さい。途中式を教えて欲しいです。お願いします。

写真の式を逆ラプラス変換して下さい。途中式を教えて欲しいです。お願いします。

質問者からの補足コメント

• 右辺第2項を2/(s+3)に書き直したものです。

  
    補足日時：2023/04/30 13:08

• すみません、補足の画質が悪かったので再投稿します

    補足日時：2023/04/30 13:10

• 載せ直します。

  
    補足日時：2023/04/30 13:14

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/04/30 12:15

Y(s) を部分分数分解して、教科書にある表をひくだけだから、

「途中式」というのは、部分分数分解のやり方って話かな？

右辺の分数が (分子の次数) < (分母の次数) になってることから、
右辺の分母を見て
Y(s) = (定数)/(s+3) + (sの一次式)/(s^2+16)
と実部分分数分解できることは折込済み。

{ 1/(s+3) }{ 20/(s^2+16) } + 1/(s+3) = C/(s+3) + f(s)/(s^2+16)　←[1]
の両辺に (s+3) を掛けてから lim[s→-3] の極限をとると
20/((-3)^2+16) + 1 = C + 0 となって、 C = 9/5.

これを [1] へ代入すると、
{ 1/(s+3) }{ 20/(s^2+16) } + 1/(s+3) = (9/5)/(s+3) + f(s)/(s^2+16)
となって、 f(s) について解けば f(s) = -(4/5)(s-3).

以上、部分分数分解は
Y(s) = (9/5)/(s+3) - (4/5)(s-3)/(s^2+16).

ラプラス変換表を逆引きするためには、これを
Y(s) = (9/5)/(s+3) - (4/5){ s/(s^2+16) - 3/(s^2+16) }
　　= (9/5)/(s-(-3)) - (4/5){ s/(s^2+4^2) - (3/4)・4/(s^2+4^2) }
　　= (9/5)/(s-(-3)) - (4/5)s/(s^2+4^2) + (3/5)・4/(s^2+4^2).
と変形すればいい。表より
y(t) = (9/5)e^(-3t) - (4/5)cos(4t) + (3/5)sin(4t).

あれ？ 写真の「答え」と一致しないね。こっち自信あるけど。

この回答へのお礼

部分分数分解ができなくて困ってました！ありがとうございます！わかりやすかったです！
写真の問題が本来なら2/(s+3)のところが1/(s+3)となっていました。申し訳ございません。
ありがとうございました！

お礼日時：2023/04/30 12:22

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/04/30 14:21

←補足

よさそうな感じです。

答えが合っていることは、No.3 の答えを参照して
y(t) = (逆ラプラス変換)[ { 1/(s+3) }{ 20/(s^2+16) } + 2/(s+3) ]
= (逆ラプラス変換)[ { 1/(s+3) }{ 20/(s^2+16) } + 1/(s+3) + 1/(s+3) ]
= (逆ラプラス変換)[ { 1/(s+3) }{ 20/(s^2+16) } + 1/(s+3) ] + (逆ラプラス変換)[ 1/(s+3) ]
= { No.3 の答え } + (逆ラプラス変換)[ 1/(s+3) ]
= { (9/5)e^(-3t) - (4/5)cos(4t) + (3/5)sin(4t) } + e^(-3t)
= (14/5)e^(-3t) - (4/5)cos(4t) + (3/5)sin(4t)
でも確認できますね。

式変形もそれでよさそうですが、
写真の 3行目と 5行目に何と書いてあるのかが、解像度の関係で確認できません。
4行目と 6行目への変形の理由が書いてると思うのですけど、
特に 5行目は要注意だと思います。
「s=3 を代入」ではなく、「s→-3 の極限をとる」と書けましたか？

この回答へのお礼

ありがとうございます！見えにくくてすみません！代入と書きました。今後気をつけます。

お礼日時：2023/04/30 14:26

No.5 回答者： oimo3. 回答日時： 2023/04/30 13:39

式変形はOKです。

が、あと一歩です！
最後の３行はy(t)の式であるのにY(s)の式のようになってしまっています。誤りはそこだけです。
最後から３行目の左辺にy(t)を書き足せば、完璧です！

横から失礼しました！

この回答へのお礼

ありがとうございます！今後気をつけます！

お礼日時：2023/04/30 23:48

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/04/30 12:39

え、問題が違ったの？

じゃあ、 No.3 の手順に沿って
正しい問題を解いた貴方の答案を補足に書いてよ。
解ったのかどうか見るから。

この回答へのお礼

解き直したものを載せました。
どうでしょうか？

お礼日時：2023/04/30 13:09

No.2 回答者： oimo3. 回答日時： 2023/04/30 08:03

分解できたときの形の式を置いてみて、まずそれを解いてみるというやり方でもう少し式変形することができると思います！

ただ、解いてみたのですが私は違う答えになってしまいました。
なので途中式全体はお答えしていません。
回答写真は参考程度でお願いします！

この回答へのお礼

ありがとうございます！申し訳ございません！2(s+2)です！お手数をかけました、助かります！

お礼日時：2023/04/30 09:11

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/04/30 07:53

部分分数展開

　10/{(s+3)(s²+16)}=a/(s+3)+(bs+c)/(s²+16)
とすると
　a(s²+16)+(s+3)(bs+c)=10
→ (a+b)s²+(3b+c)s+16a+3c=10
→ a+b=0, 3b+c=0, 16a+3c=10
→ -3a+c=0, 16a+3c=10
→ 16a+9a=10

→ a=2/5 → c=6/5 → b=-a=-2/5
すると
　10/{(s+3)(s²+16)}
　　=(2/5)/(s+3)-(2/5)s/(s²+16)+(6/5)/(s²+16)

したがって、上式に 1/(s+3)を足して
　Y(s)=(7/5)/(s+3)-(2/5)s/(s²+16)+(6/5)/(s²+16)
　　　=(7/5)/(s+3)-(2/5)s/(s²+4²)+(6/(5・4))4/(s²+4²)
　　　=(7/5)/(s+3)-(2/5)s/(s²+4²)+(3/10)4/(s²+4²)

公式から
　y(t)=(7/5)e^(-3t)-(2/5)cos(4t)+(3/10)sin(4t)

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2023/04/30 09:11