Σ1/(n+1) が発散することを証明したいとき、分母の+1を無視して、1/nの発散を考えてもよいの

Σ1/(n+1)　が発散することを証明したいとき、分母の+1を無視して、1/nの発散を考えてもよいのでしょうか？定数項を無視できるというのがよく分かりません。

No.5 ベストアンサー 回答者： syotao 回答日時： 2023/05/03 12:08

Σ1/nの発散がわかってるのであるから

Σ1/(n+ｋ)　ｋ定数　　も発散するということです。
つまり定数ｋは考慮する必要はない。

この回答へのお礼

理解できました。ありがとうございました。

お礼日時：2023/05/03 12:20

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/05/03 11:03

任意のKに対して

n_0>e^(K+1)となる自然数n_0がある
n>n_0となる任意の自然数nに対して
log(n)>log(n_0)>K+1
-1+log(n)>K

Σ_{k=1～n}1/(k+1)
=1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+…+1/(n+1)
=-1+1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+…+1/(n+1)
=-1+Σ_{k=1～n+1}1/k
>-1+log(n)
>K
だから

Σ_{n=1～∞}1/(n+1)=∞
は発散する

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。とても分かりやすかったです。

Σ1/(n+1)≒Σ1/n という考え方は正しくないということでしょうか？

お礼日時：2023/05/03 11:12

No.3 回答者： 胸が大きいのが悩みなの。乳首は桜色だし。 回答日時： 2023/05/03 10:38

分母の+1を無視ではなく、先頭の1+を無視したのでは？

No.2 回答者： HONTE 回答日時： 2023/05/03 09:45

先を越されました。

本当ですよッ！

この回答へのお礼

どんなときでも級数が大きな値になる(発散する)なら、定数項は全部無視していいということでしょうか？

お礼日時：2023/05/03 09:48

No.1 回答者： fadklsj 回答日時： 2023/05/03 09:37

分母に1を加えた式 Σ1/(n+1) が発散することを証明したい場合、分母に+1を加えることはできません。

なぜなら、分母に+1を加えると、元の式とは異なる式となります。

しかし、nが大きな値の場合には、1/(n+1) は非常に小さい値になります。そのため、nが大きな値の場合には、Σ1/(n+1) ≒ Σ1/n と考えることができます。

この近似によって、Σ1/(n+1) が発散することを証明することができます。なぜなら、Σ1/n が発散することはよく知られており、その発散性は調和級数の発散性として知られています。

ただし、この近似には注意が必要です。nが小さい場合には、1/(n+1) が大きな値になるため、この近似は成り立ちません。そのため、nが大きな値の場合に限って、この近似を用いてΣ1/(n+1) が発散することを証明することができます。

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