A 回答 (4件)
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No.4
- 回答日時:
経験からまず、(n+1)²-n²が分子にならないかは
検討してみると思う。これの暗算チェックは簡単。
それで駄目なら、ヘビサイド展開定理から
A/n+B/n²+C/(n+1)+D/(n+1)² (A、B、C、Dは実数の定数)
となるから
2n+1=An(n+1)²+B(n+1)²+Cn²(n+1)+Dn²
の係数比較で解く。これの暗算は難しい。
No.3
- 回答日時:
分子 2n+1 が (n+1)^2 - n^2 であることから、(符号がどうなるかはちょっと保留して)「1/n^2 と 1/(n+1)^2 の差」の形になることはすぐわかるでしょう。
で、「n>0なら正になるなっ」と確認すれば、符号が決まる。No.2
- 回答日時:
a(n) = (nの3次以下の多項式)/{ n²(n+1)² } は、
a(n) = (定数)/n + (定数)/n² + (定数)/(n+1) + (定数)/(n+1)² と
部分分数分解できることが判っています。これは知っておくといい。
そこで、a(n) = A/n + B/n² + C/(n+1) + D/(n+1)² と置くと、
両辺を n² 倍して (2n+1)/(n+1)² = An + B + Cn²/(n+1) + Dn²/(n+1)²
より、n→0 として 1 = 0 + B + 0 + 0.
両辺を n² 倍して (2n+1)/n² = A(n+1)² + B(n+1) + C(n+1) + D
より、n→0 として 1 = 0 + 0 + 0 + D.
よって B = D = 1 と判るが、これを代入すると
A/n + B/n² = (2n+1)/{ n²(n+1)² } - 1/n² - 1/(n+1)²
= 中略
= 0
となって、 A = C = 0 と判る。
よって、a(n) = 0/n + 1/n² + 0/(n+1) + 1/(n+1)²
= 1/n² + 1/(n+1)².
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