部分分数分解の変形なのですがこれは暗算でできるのですか？ 恒等式を利用して変形したのですが暗算できる

部分分数分解の変形なのですがこれは暗算でできるのですか？
恒等式を利用して変形したのですが暗算できるのならどう考えればよいのでしょうか？

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/05/14 09:09

経験からまず、(n+1)²-n²が分子にならないかは

検討してみると思う。これの暗算チェックは簡単。

それで駄目なら、ヘビサイド展開定理から
A/n+B/n²+C/(n+1)+D/(n+1)² (A、B、C、Dは実数の定数)
となるから
2n+1=An(n+1)²+B(n+1)²+Cn²(n+1)+Dn²
の係数比較で解く。これの暗算は難しい。

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2023/05/13 22:15

分子 2n+1 が (n+1)^2 - n^2 であることから、（符号がどうなるかはちょっと保留して）「1/n^2 と 1/(n+1)^2 の差」の形になることはすぐわかるでしょう。

で、「n>0なら正になるなっ」と確認すれば、符号が決まる。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/05/13 22:07

a(n) = (nの３次以下の多項式)/{ n²(n+1)² } は、

a(n) = (定数)/n + (定数)/n² + (定数)/(n+1) + (定数)/(n+1)² と
部分分数分解できることが判っています。これは知っておくといい。
そこで、a(n) = A/n + B/n² + C/(n+1) + D/(n+1)² と置くと、
両辺を n² 倍して (2n+1)/(n+1)² = Aｎ + B + Cｎ²/(n+1) + Dｎ²/(n+1)²
より、n→0 として 1 = 0 + B + 0 + 0.
両辺を n² 倍して (2n+1)/n² = A(n+1)² + B(n+1) + C(n+1) + D
より、n→0 として 1 = 0 + 0 + 0 + D.
よって B = D = 1 と判るが、これを代入すると
A/n + B/n² = (2n+1)/{ n²(n+1)² } - 1/n² - 1/(n+1)²
　　　　　= 中略
　　　　　= 0
となって、 A = C = 0 と判る。
よって、a(n) = 0/n + 1/n² + 0/(n+1) + 1/(n+1)²
　　　　　= 1/n² + 1/(n+1)².

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/05/13 19:58

できます。

どうといわれても、自明なので説明のしようがない。