
条件付き極値問題といわれる問題です。ラグランジュの乗数法
について、質問したいことがあります。
条件g(x,y)=0が等号であれば関数f(x,y)は極大値、極小値をもつ、(最大値、最小値)
g(x,y)≦0が不等号の場合は、境界上と境界内部を別々に調べる。
このとき、境界上では最大値、境界内部で最小値を取るというのは決まっているのでしょうか?
写真の問題についてです。
境界内部で極値を調べる方の解で、
f(x,y)=(x-1/2)^2+2y^2-1/4
とありますが、これは平方完成すると求まります。緑マーカで引いた、点Aにおいて、とありますが平方完成と停留点の関係はあるのですか?
(つまり、停留点を(1/2,0)と求めてるがこの点を求める意味はあるのか、平方完成だけで最小値と決めるのはまずい?)
また、解1で
fx=λgx ①
fy=λgy ②
x^2+y^2=1 ③
の連立方程式を解く時に、
y=0、x=1
という点は出ないですか?
②において
4y-2yλ=0
2y(2-λ)=0
λ=2、y=0
と求まりました。
質問が長く多くなってしまい申し訳ないです。
よろしくお願いします。

No.2ベストアンサー
- 回答日時:
>g(x,y)≦0が不等号の場合は、境界上と境界内部を別々に調べる。
このとき、境界上では最大値、境界内部で最小値を取るというのは決まっているのでしょうか?<
●決まってません。
g(x,y)≦0の場合の極値問題は、g<0 と g=0 の場合に分けます。
g<0 の時は、まず、この制限無しに fの極値を判定します(開
集合領域の時の最大最小は極値となる)。そして、その点が
g<0 にあればよいのです。無ければ、g<0 に最大最小は無い。
つぎに、g=0 で最大最小を求め、g<0 の値と比較して最大最小
を選べばよい(極大極小などの判定条件もありますが、面倒なの
で候補が少ないときは、停留点をもとめ、極値判定を省き、値
の大小を比較した方が簡単)。
ちなみに、有界閉集合上(今回の g≦0)の連続関数は必ず最大値と
最小値をもつという有名な定理を使います。ちなみに、今回の
g=0 の領域も有界閉集合なので、境界だけでも最大最小を持つ。
>点Aにおいて、とありますが平方完成と停留点の関係はあるのですか?
(つまり、停留点を(1/2,0)と求めてるがこの点を求める意味はあるのか、平方完成だけで最小値と決めるのはまずい?)<
●文脈としては、
fx=fy=0 ・・・・・・・・①
から停留点はただ
1つ、(1/2,0) と言っています。また
f≧-1/4・・・・・②
なので、これは最小値と言っていますが、fが微分可能なので
極小値でもあり、上の議論で極値は1つだけなので、これが最
小値と言っている(上で述べたように、停留点の大小を比較す
るだけで十分)。
話として、最小値を求めるだけなら、②だけでよいが、最大値
も求めなければならないので、他の停留点の情報がいる。ただ、
停留点は1つだけなので、最大となる停留点は無く、領域の境
界を調べる必要がある、と言っている。
ただ、この回答が杜撰なのは②を満たす点が領域
x²+y²≦1
内にあることを言わねばならない(自明というのは杜撰)。
>y=0、x=1 という点は出ないですか?<
●出てきます。正確には
y=0、x=±1
です。そして、
x=-1/2, y=±(√3)/2
の4つの点の最大・最小を比較して求める必要がある(最小は
①で、求まっているが、同じ値があるかもしれないので)。
f(±1,0)=1+2・0-(±1)=0, 2
f(-1/2, ±(√3)/2)=1/4+2・3/4-(-1/2)=9/4
これらの3つと①から選ぶと
最小: -1/4 (x,y)=(1/2,0)
最大: 9/4 (x,y)=(-1/2, ±(√3)/2)
回答ありがとうございます。
理屈から説明して頂き、ありがとうございます。かなり分かりやすかったです。
理解することが出来ました。助かりました!
No.3
- 回答日時:
単純に、
x² + y² ≦ 1 ⇔ (-1 ≦ x ≦ 1 かつ 0 ≦ y² ≦ 1 - x²)
より
f(x) ≧ x² + 0 - x = (x - 1/2)² - 1/4 ≧ -1/4.
等号成立は y = 0, x = 1/2 のとき。
f(x) ≦ x² + 2(1 - x²) - x = - x² - x + 2 = - (x + 1/2)² + 1/4 + 2 ≧ 9/4.
等号成立は y² = 1 - x², x = -1/2 のとき。
すなわち x = -1/2, y = ±√3/2 のとき。
...じゃあ、あかんのか?
中学生の問題やぞ。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています
今、見られている記事はコレ!
-
弁護士が解説!あなたの声を行政に届ける「パブリックコメント」制度のすべて
社会に対する意見や不満、疑問。それを発信する場所は、SNSやブログ、そしてニュースサイトのコメント欄など多岐にわたる。教えて!gooでも「ヤフコメ民について」というタイトルのトピックがあり、この投稿の通り、...
-
弁護士が語る「合法と違法を分けるオンラインカジノのシンプルな線引き」
「お金を賭けたら違法です」ーーこう答えたのは富士見坂法律事務所の井上義之弁護士。オンラインカジノが違法となるかどうかの基準は、このように非常にシンプルである。しかし2025年にはいって、違法賭博事件が相次...
-
釣りと密漁の違いは?知らなかったでは済まされない?事前にできることは?
知らなかったでは済まされないのが法律の世界であるが、全てを知ってから何かをするには少々手間がかかるし、最悪始めることすらできずに終わってしまうこともあり得る。教えてgooでも「釣りと密漁の境目はどこです...
-
カスハラとクレームの違いは?カスハラの法的責任は?企業がとるべき対応は?
東京都が、客からの迷惑行為などを称した「カスタマーハラスメント」、いわゆる「カスハラ」の防止を目的とした条例を、全国で初めて成立させた。条例に罰則はなく、2025年4月1日から施行される。 この動きは自治体...
-
なぜ批判コメントをするの?その心理と向き合い方をカウンセラーにきいた!
今や生活に必要不可欠となったインターネット。手軽に情報を得られるだけでなく、ネットを介したコミュニケーションも一般的となった。それと同時に顕在化しているのが、他者に対する辛らつな意見だ。ネットニュース...
おすすめ情報
このQ&Aを見た人がよく見るQ&A
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
極大値・極小値 を英語で
-
数学 2時間数に関わる問題につ...
-
マルチディスプレイ【2台】に...
-
正数a、bに対し次の関数の最大...
-
ヒストグラムを作るんですけど ...
-
3σと最大値,最小値
-
①とても初歩的なことなのですが...
-
3つの無理数a,b,cでf(x)=x^3+ax...
-
至急!1対1対応の演習 一文...
-
1日おき」と「24時間おき」の違い
-
変化率の求め方
-
基本情報処理 平成27年春期 ...
-
至急お願いします
-
数学の表記の表し方で最大値と...
-
2変数関数の最大、最小の問題に...
-
相加・相乗平均の式について
-
(2)の問題を解くときに、最初...
-
数学の質問です。0≦x≦a におけ...
-
なぜ、最小値がないのかが分か...
-
数学の問題です。
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
極大値・極小値 を英語で
-
マルチディスプレイ【2台】に...
-
①とても初歩的なことなのですが...
-
aを正の定数とし、f(x)=x²+2(a-...
-
ヒストグラムを作るんですけど ...
-
y=-|x-2|+3のグラフで 問題 ...
-
範囲の始まりと終わりの値の名称
-
至急お願いします
-
Excelグラフ作成方法を教えてく...
-
3σと最大値,最小値
-
正と負の数値が混在する中で、...
-
数学 2時間数に関わる問題につ...
-
なぜ、最小値がないのかが分か...
-
x(x-1)(x-2)(x-3)の最大値と最...
-
数II:三角関数の合成です
-
はめあいの『最大すきま』と『...
-
レーダーチャートの軸
-
2変数関数の最大、最小の問題に...
-
数学の質問です。 y=3sinθ-1 (0...
-
数学Ⅱの問題です。
おすすめ情報