試合数を教えてください。

全部で30チームあって、
1チームでみると相手との対戦が年間162試合ある場合、30チーム全体では何試合になりますか。

(質問2)
一般に、
全部でnチームあって、1チームでみると相手との対戦が年間a試合ある場合、nチーム全体では何試合になりますか。

(質問3)
逆に、
全部でnチームあって全体ではb試合ある場合、1チームは相手と何試合を戦いますか。

質問者からの補足コメント

• 「1チームでみると」
  
  どのチームも相手と戦う試合数は同じとします。

    補足日時：2023/06/04 23:14

• 例
  全部で5チームあって、すべての相手と１回ずつの総当たりだとすると、1チームは相手と4試合あって、全体では10試合です。

    補足日時：2023/06/04 23:17

• 「お礼」の訂正。
  
  na/2 試合
  
  何も考えずにnとaの例を挙げてしまいました。
  
  naが奇数になることは、あり得ないということですか。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/06/05 00:38

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2023/06/04 23:18

＞1チームでみると相手との対戦が年間162試合ある場合、30チーム全体では何試合になりますか。

1チーム 162試合ということは、相手チームによって試合数が異なるということですね？　ただし、相手がどこであれ、必ず合計 162試合を行うということ。

それが30チームあるのだから、
　162 試合 × 30 チーム = 4860
ただし、これだと、「１つの試合を双方から見て２」とカウントすることになるので、実際の試合数は
　4860 ÷ 2 = 2430 試合

(質問2) 同様に
　na/2 試合

(質問3) これを逆に使って、1チームあたり x 試合行うとすれば
　b = nx/2
なので
　x = 2b/n

No.10 回答者： kairou 回答日時： 2023/06/05 19:02

＞全チームが同じ試合数をこなぜば、総当たりではなくてもいいです。

また、対戦相手に偏りがあってもいいです。

そんな 好き勝手なルールでは 試合数を計算できません。
例えば A, B, C, D の 4チームで 考えてみて。
総当たりなら AB, AC, AD, BC, BD, CD の6試合ですが、
上記の ルールでは 組み合わせも 試合数も 決められませんよね。

No.9 回答者： yhr2 回答日時： 2023/06/05 15:59

No.2 です。

「お礼」に書かれたことについて。

＞たとえば、
＞n=5
＞a=9の場合、
＞
＞5×9/2=22.5
＞試合数は整数にならないとおかしいです。

他人に言う前に自分で確認してみたら？
例えば下記。
E は８試合しかできません。
E を「9試合」にしたら、その相手チームが「10試合」になってしまいます。
「相手がある話だ」ですから。

No.8 回答者： kairou 回答日時： 2023/06/05 14:13

＞たとえば、n=5、a=9の場合、

＞5×9/2=22.5 試合数は整数にならないとおかしいです。

n=5、a=9の場合は あり得ません。
チーム数が n の場合、1つのチームの相手は n-1 チームです。
n=5 なら 1チームの試合数は 4 、2試合総当たりで 1チームは 8試合です。
9試合と云う事は 特定の 1チームと 3回目の試合をすることになります。

No.7 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/06/05 13:34

紙面にチームの数だけ◯を書き、チーム名を書き添える。

チームAとチームBとの試合を、◯Aと◯Bとを結ぶ線で表す。
1チームでみると対戦がa試合ある場合、
各◯に繋がる線はa本づつである。
na は、線の端点の総数を数えたことになるから
=総試合数×2.

No.6 回答者： yhr2 回答日時： 2023/06/05 09:43

No.2 です。

「補足」について。

＞naが奇数になることは、あり得ないということですか。

既に回答がいくつかありますが「そうです」ということ。

奇数チームが、すべて年間同じ「奇数ゲーム数」はあり得ません。
「相手あっての話」ですので、どこかのチームがあぶれます。

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/06/05 08:35

NO4続き

>1チームでみると相手との対戦が年間162試合
これが特定の「相手」ではなくて
単純に1チームの行なう年間試合数だとすると
na/2
ですね。
naは試合を行なう両チームが其々1試合とカウントした時の
試合数だから、必ず偶数となり、実際の試合数の倍になる。

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/06/05 07:59

nチームが総当たりで1回ずつ試合すると

試合数は nC2=n(n-1)/2

総当たりでa回ずつなら試合数は
an(n-1)/2

質問3は
a=2b/{n(n-1)} 但し割り切れること。

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/06/05 01:01

前提として

・全体で n チーム
・どのチームも (他のチームと) 合計 a 試合行う
・全ての試合は 2チームの間で行われる
ことを仮定するなら, na は必ず偶数になる.

https://en.wikipedia.org/wiki/Handshaking_lemma

No.1 回答者： OnneName 回答日時： 2023/06/04 23:16

30チームがそれぞれ162試合するのだから4860試合だが一つの試合を2チームがカウントしているのだからその半分で2430試合。

もっとも三つ巴四巴の試合があればこの限りにあらずですね。