８人でトーナメント線をすると、対戦の組み合わせは何通りあるでしょう という問題で、答えが315なので

８人でトーナメント線をすると、対戦の組み合わせは何通りあるでしょう
という問題で、答えが315なのですが、
(8C2×6C2×4C2)/4!で、105だと思いました
どうしてこの考え方は違うのですか？

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/02/14 23:30

(8C2×6C2×4C2)/4! というのは、

たぶん8人を2人づつ4組にする
組み合わせなんでしょうね。
それだと、一回戦しか決まりません。
勝ちのこった4人の二回戦以降も
試合を組む必要があります。

同じように考えて、
二回戦の組み方が (4C2)/2! とおり、
三回戦の組み方は 1 とおり。

トーナメント全部の組み合わせは
(8C2×6C2×4C2)/4! × (4C2)/2! × 1
= (8!/(2!2!2!2!4!))(4!/(2!2!2!))
= 315 です。

この回答へのお礼

なるほど！ありがとうございます！

お礼日時：2019/02/20 01:25

No.2 回答者： tsuyoshi2004 回答日時： 2019/02/15 12:46

考え方はいろいろとありますが、

８人でのトーナメントというのは、１回戦が任意の２人ずつで４試合を行い、２回戦（準決勝）を１回戦の勝者の任意の２人ずつで２試合を行い、２回戦の勝者同士で決勝戦を行うということでしょう。

仮にここで、１回戦をＡ－Ｂ，Ｃ－Ｄ，Ｅ－Ｆ、Ｇ－Ｈの４試合を行い、２回戦はＡ－ＢとＣ－Ｄの勝者、Ｅ－ＦとＧ－Ｈの勝者が行い、２回戦の勝者で決勝戦を行うとします。
そうすると、決勝戦はＡＢＣＤの中の１人とＥＦＧＨの中の１人が戦います。
したがって、ＡＢＣＤとＥＦＧＨの２グループに分けるのは８Ｃ４／２＝３５通りです。
ＡＢＣＤの１回戦の組み合わせは３通り、同様にＥＦＧＨの組み合わせは３通り、したがって、
３５×３×３＝３１５通りになります。

もう一つの考え方は・・・・・
同様のトーナメント表で、重複した組み合わせがいくつあるかということです。
８人の順列は８！
１回戦では４試合それぞれでＡ－ＢもＢ－Ａも同じなので２＾４の重複があります。
２回戦も２試合でＡ－Ｂの勝者とＣ－Ｄの勝者でもＣ－Ｄの勝者とＡ－Ｂの勝者でも同じなので、２＾２の重複があります。
決勝戦でも右の山と左の山を入れ替えても同じなので、２通りの重複があります。
したがって、８！／（２＾４・２＾２・２）＝８！／２＾７＝３１５通り
※もっと単純に７試合なのでそれの入れ替わりがあるので、重複は２＾７でも構いません。

この回答へのお礼

ありがとうございます！！

お礼日時：2019/02/20 01:25