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8人でトーナメント線をすると、対戦の組み合わせは何通りあるでしょう
という問題で、答えが315なのですが、
(8C2×6C2×4C2)/4!で、105だと思いました
どうしてこの考え方は違うのですか?

gooドクター

A 回答 (2件)

(8C2×6C2×4C2)/4! というのは、


たぶん8人を2人づつ4組にする
組み合わせなんでしょうね。
それだと、一回戦しか決まりません。
勝ちのこった4人の二回戦以降も
試合を組む必要があります。

同じように考えて、
二回戦の組み方が (4C2)/2! とおり、
三回戦の組み方は 1 とおり。

トーナメント全部の組み合わせは
(8C2×6C2×4C2)/4! × (4C2)/2! × 1
= (8!/(2!2!2!2!4!))(4!/(2!2!2!))
= 315 です。
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この回答へのお礼

なるほど!ありがとうございます!

お礼日時:2019/02/20 01:25

考え方はいろいろとありますが、


8人でのトーナメントというのは、1回戦が任意の2人ずつで4試合を行い、2回戦(準決勝)を1回戦の勝者の任意の2人ずつで2試合を行い、2回戦の勝者同士で決勝戦を行うということでしょう。

仮にここで、1回戦をA-B,C-D,E-F、G-Hの4試合を行い、2回戦はA-BとC-Dの勝者、E-FとG-Hの勝者が行い、2回戦の勝者で決勝戦を行うとします。
そうすると、決勝戦はABCDの中の1人とEFGHの中の1人が戦います。
したがって、ABCDとEFGHの2グループに分けるのは8C4/2=35通りです。
ABCDの1回戦の組み合わせは3通り、同様にEFGHの組み合わせは3通り、したがって、
35×3×3=315通りになります。

もう一つの考え方は・・・・・
同様のトーナメント表で、重複した組み合わせがいくつあるかということです。
8人の順列は8!
1回戦では4試合それぞれでA-BもB-Aも同じなので2^4の重複があります。
2回戦も2試合でA-Bの勝者とC-Dの勝者でもC-Dの勝者とA-Bの勝者でも同じなので、2^2の重複があります。
決勝戦でも右の山と左の山を入れ替えても同じなので、2通りの重複があります。
したがって、8!/(2^4・2^2・2)=8!/2^7=315通り
※もっと単純に7試合なのでそれの入れ替わりがあるので、重複は2^7でも構いません。
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この回答へのお礼

ありがとうございます!!

お礼日時:2019/02/20 01:25

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