これって結局何をしているのでしょうか？ fはR^2において最大値、最小値を持つことを示せ。 lim(

これって結局何をしているのでしょうか？

fはR^2において最大値、最小値を持つことを示せ。

lim(r→∞)f=0から計算をしている意味がイマイチ分かりません。こちらの参考書に書いてある通りだと思うのですがもう少し噛み砕いて具体的に教えていただけると幸いです。
すみませんがよろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/06/13 13:30

二変数だと話が複雑かな？

替わりに一度、一変数関数で考えてみましょう。

g(x) = x e^(-x^2) の最大最小を考えてみましょうか。
g’(x) = (1 - 2x^2) e^(-x^2) になることを計算して
g(x) の増減表を書けば、y = g(x) のグラフの概形が解ります。
グラフは下図のようになります。

x = 1/√2 に最大値、x = -1/√2 に最小値がありますね。
この最大値最小値を考えるとき、lim[x→+∞] g(x) や
lim[x→-∞] g(x) が g(-1/√2) から g(1/√2) までの間に収まっている
ことは大切です。

上記の g(x) と h(x) = x - x^3 を比べてみましょう。
h(x) も、g(x) と似たようにグラフに小山を持ちます。
h(1/√3) が極大値、h(-1/√3) が極小値です。
しかし、lim[x→+∞] h(x) = -∞ で h(-1/√3) より小さいし、
lim[x→-∞] h(x) = -∞ で h(-1/√3) より大きい。
このため、h(x) は最大値最小値を持ちません。

最大値最小値というと、すぐ微分して極値を求めて...と
突っ走ってしまう人があるのですが、この g(x) と h(x) の違いを見れば、
定義域の端での関数の値が重要であることが判るでしょう。

(x,y)∈R^2 に対する f(x,y) では、定義域の端は平面の全周にあり、
lim[r→+∞] での f(x,y) の振る舞いが端での値にあたります。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。
返信が遅れてしまい申し訳ございません。

1変数で考えると頭に入ってきました。
私自身、最大値、最小値を求める時はx=±∞を調べるということをしてたのですが、そのことが今回のことに繋がって良かったです。
ありがとうございました！

お礼日時：2023/06/15 14:15

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/06/13 11:15

f(x,y)=(x+y)e^{-(x^2+y^2)}

x=rcosθ
y=rsinθ
とすると
f(rcosθ,rsinθ)=(cosθ+sinθ)r/e^{r^2}

1/(2e)>ε>0に対して
R>2/ε となるRが存在する
R>2/ε>4e>8

r>Rとなる任意のrに対して

r^2<e^{r^2}
2/ε<R<r<e^{r^2}/r
r/e^{r^2}<1/r<1/R<ε/2
2r/e^{r^2}<2/r<2/R<ε
だから

|f(rcosθ,rsinθ)|
=|(cosθ+sinθ)r/e^{r^2}|
<|2r/e^{r^2}|
<ε
だから

(i)
x^2+y^2>R^2では
|f(x,y)|<ε<1/(2e)
-1/(2e)<f(x,y)<1/(2e)
max{f(x,y)|x^2+y^2>R^2}<1/(2e)…(1.1)
min{f(x,y)|x^2+y^2>R^2}>-1/(2e)…(1.2)

(ii)
x^2+y^2≦R^2では

(x,y)=(1,0)のときx^2+y^2=1<R^2
f(1,0)=1/e
max{f(x,y)|x^2+y^2≦R^2}≧1/e…(2.1)

(x,y)=(-1,0)のときx^2+y^2=1<R^2
f(-1,0)=-1/e
min{f(x,y)|x^2+y^2≦R^2}≦-1/e…(2.2)

(1.1)(2.1)から
max{f(x,y)}=max{f(x,y)|x^2+y^2≦R^2}≧1/e>1/(2e)
領域x^2+y^2≦R^2での最大値が|R^2での最大値になる

(1.2)(2.2)から
min{f(x,y)}=min{f(x,y)|x^2+y^2≦R^2}≦-1/e<-1/(2e)
領域x^2+y^2≦R^2での最小値が|R^2での最小値になる

領域x^2+y^2≦R^2は有界閉領域で
関数fは連続だから
fは最大値と最小値をもつ

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
返信が遅れてしまい申し訳ございません。

1度貴方様の回答を書き写しながら考え、理解することが出来ました、参考になりました。
ありがとうございました！

お礼日時：2023/06/15 14:16

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/06/13 00:41

まず、有界閉集合上の連続関数は最大最小を持つという有名な

定理(たしか、ワイヤストラス)をつかいたいのですが、この場
合は領域は有界ではない。

だから、有界閉集合 x²+y²≦R²　と x²+y²>R² の領域にわけ、
前者では最大M>0,最小m<0があり、後者の領域では R → ∞
で |f| → 0だから、Rを十分大きく取れば、
　m<f<M
とできる。

つまり、全領域で M,m が最大最小となる。

ということを言いたい。

ただ、「εはほとんど0と考えてよい」などというところが杜撰。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
返信が遅れてしまい申し訳ございません。

端的で分かりやすく直感的に理解出来ました。

ありがとうございました！

お礼日時：2023/06/15 14:17