数Ⅱ Σの計算

写真のように解いたところ、正しい答え 1/6×(n+1)×(n+2) にたどり着けませんでした。
どこで間違えているのか教えて下さい。

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/06/23 17:19

=(1/2)(n^2/2+n/2)(2n/3+4/3)

No.2 回答者： sc348253 回答日時： 2023/06/22 14:15

Σ[k=1～n]{(1/2)k(k + 1)}

=(1/2) Σ[k=1～n]{k(k + 1)}
ここで　差分・和分的に解きます
{k(k + 1)}={k(k + 1)(k+2)-(k-1)k(k+1)}/3 より
　 2・与式 =【(1・2・3-0・1・2)
+(2・3・4-1・2・3)
　　　　　 .............................
+{n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)}】/3
　　　　　 =n(n+1)(n+2)/3
従って
　　与式=n(n+1)(n+2)/6
別解の方が簡単で間違いが少ないです。

同じことを差分・和分で解けば
与式= Σ[k=1～n]{(1/2)k(k + 1)}とおけば
2・与式= Σ[k=1～n]{k(k + 1)}
　　　 =⌠[k=1～n] (k+1)【2】
=[(1/3)・(k+1)【3】]（1～n）
=(1/3)・[(k-1)k(k+1)]（1～n+1）
=(1/3)・{n(n+1)(n+2)-0・1・2}
　　　　=(1/3)・n(n+1)(n+2)
従って　与式=n(n+1)(n+2)/6

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2023/06/21 13:16

一般項は

　an = 1 + 2 + ・・・ + n
ですね。

これは、和の公式から
　an = (1/2)n(n + 1)
です。

よって、
　Σ[k=1～n]ak = Σ[k=1～n]{(1/2)k(k + 1)}
= (1/2)Σ[k=1～n]{k^2 + k}
= (1/2){Σ[k=1～n]k^2 + Σ[k=1～n]k}

これは「２乗の和の公式」「和の公式」から

= (1/2){(1/6)n(n + 1)(2n + 1) + (1/2)n(n + 1)}
= (1/2)(1/2)n(n + 1){(1/3)(2n + 1) + 1}　　　　　①
= (1/2){(1/2)n^2 + (1/2)n}{(2/3)n + 4/3}　　←あなたはここで間違っている
= (1/2)(1/2)(2/3){n^2 + n}{n + 2}
= (1/6)n(n + 1)(n + 2)

あなたのようにやるよりは、①の最終項だけを展開して

① = (1/4)n(n + 1){(1/3)(2n + 1 + 3)}
　= (1/4)n(n + 1){(1/3)(2n + 4)}
　= (1/4)n(n + 1){(2/3)(n + 2)}
　= (1/6)n(n + 1)(n + 2)

とやればよいでしょう。

もう一つの質問もそうですが、計算途中でそそっかしい間違いをしているだけです。
計算過程できちんと変形すること、後できちんと見直すことを心がけましょう。