数Ⅱ Σの計算

写真を見てください。
矢印で指している式は、正しく計算すると
1/6×n×(n+1)×(2n+1)になりますが、
上手く計算できませんでした。

私の計算で間違えているところを教えて下さい。

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/06/16 13:46

Σ[k=1..n] k{ n - (k-1) }

の値は、
= -(1/6)n(n+1)(2n+1) + (n+1)・(1/2)n(n+1)
= (1/6)n(n+1)(n+2)
の方が正しく、
= (1/6)n(n+1)(2n+1)
ではない。

この回答へのお礼

そうですね（汗）
間違えていました。
回答ありがとうございました。

お礼日時：2023/06/17 16:12

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/06/16 04:55

間違えていません。

計算が完了してないだけ。

>どうしてこの式が?
というのは

k=1～n としたとき
　1,2,・・・,(n-1),n の各項は　k
　n,(n-1),・・・,2,1 の各項は　n-(k-1)
と表せるから
　1・n,2(n-1),・・・,(n-1)2,n・1 の各項は　k(n-(k-1))
となる(実際にkに1～nを代入すればよい)。

すると
　Σ[k=1,n] k(n-(k-1))=Σ[k=1,n] {(n+1)k - k²}
　=(n+1)Σ[k=1,n] k - Σ[k=1,n] k²
　=(n+1)n(n+1)/2 - n(n+1)(2n+1)/6
　={n(n+1)/6}{3(n+1)-(2n+1)}
　={n(n+1)/6}(n+2)

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2023/06/16 04:09

> 間違えている

かどうかは知らんが、

> 1/6×n×(n+1)×(2n+1)になりますが

それは大抵の人がアンキしているであろう「公式」で、高校数学でやったんじゃないだろうか。でも、知らんのなら導く必要があるな。

[1] 式を見やすくするために記号を決める。
　　R(n) = Σ[k=1〜n]k = n(n + 1)/2
　　S(n) = Σ[k=1〜n](k^2)
　　T(n) = Σ[k=1〜n](k^3)
とする。

[2] さて、アマクダリで申し訳ないが
　　Σ[k=1〜n]((k + 1)^3)
を考える。
　　(k + 1)^3 = (k^3) + 3(k^2) + 3k + 1
だから
　　Σ[k=1〜n]((k + 1)^3)
　　　= Σ[k=1〜n](k^3) + 3(Σ[k=1〜n](k^2)) + 3(Σ[k=1〜n]k) + Σ[k=1〜n]1
右辺を[1]を使って書き直すと
　　Σ[k=1〜n]((k + 1)^3) = T(n) + 3S(n) + 3R(n) + n

[3] 一方、
　　Σ[k=1〜n]((k + 1)^3) = (Σ[k=1〜n-1]((k + 1)^3)) + (n + 1)^3
なので
　　Σ[k=1〜n]((k + 1)^3) = (Σ[k=0〜n-1]((k + 1)^3) - (1^3)) + (n + 1)^3
ここで j = k + 1 とおいて、これを右辺に使うと
　　Σ[k=1〜n]((k + 1)^3) = (Σ[j - 1=0〜n-1](j^3) - (1^3)) + (n + 1)^3
つまり
　　Σ[k=1〜n]((k + 1)^3) = (Σ[j=1〜n](j^3) - (1^3)) + (n + 1)^3
だから
　　Σ[k=1〜n]((k + 1)^3) = (T(n) - 1) + (n + 1)^3

[4] 二つの恒等式[2][3]を合わせれば、恒等式
　　T(n) + 3S(n) + 3R(n) + n = T(n) - 1 + (n + 1)^3
が得られるから、これをS(n)について解けばS(n)がわかる。

[5] その結果をさらに因数分解して整理し「公式」にしておくと、ナニカと吉。
そして、n=1, 2, 3ぐらいについて検算してみて、どこかで計算を間違えてないかを確認する。

　なお、Σ[k=1〜n](k^m) (m=3,4,5, ...)も全く同じ手順で「公式」が導ける。