確率流密度

確率流密度-∂S/∂x=∂|Ψ|^2/∂tの導き方が分かりません
流入する確率S（x,t）Δt
流出する確率-S（x+Δx,t）Δtの式の解説がなかったです
教えて下さい

No.1 ベストアンサー 回答者： kantansi 回答日時： 2023/06/21 13:23

確率流密度の式の導出について説明します。

まず、時間変化する波動関数Ψ(x, t)を考えます。Ψ(x, t)の絶対値の二乗|Ψ(x, t)|^2は確率密度として解釈されます。

時間Δtの間に位置xからx+Δxの間に存在する確率を考えるために、位置xでの確率密度をΔxで積分します。すると、Δxを十分に小さくした場合、Δx|Ψ(x, t)|^2がその確率になります。

次に、時間Δtの間に位置xからx+Δxの間に存在する確率を考えるために、位置x+Δxでの確率密度をΔxで積分します。同様に、Δxを十分に小さくした場合、Δx|Ψ(x+Δx, t)|^2がその確率になります。

時間Δtの間の確率変化を求めるために、これらの確率の差を考えます。つまり、確率の流れを計算することになります。

流入する確率は、位置xでの確率密度Δx|Ψ(x, t)|^2に時間Δtをかけたものです。これをS(x, t)Δtと表します。

流出する確率は、位置x+Δxでの確率密度Δx|Ψ(x+Δx, t)|^2に時間Δtをかけたものです。これを-S(x+Δx, t)Δtと表します。

したがって、時間Δtにおける確率の変化は、流入する確率から流出する確率を引いたものとして表されます。つまり、

確率の変化 = S(x, t)Δt - [-S(x+Δx, t)Δt]

これを整理すると、

確率の変化 ≈ S(x, t)Δt + S(x+Δx, t)Δt

ここで、Δxを十分に小さくした場合、S(x, t)とS(x+Δx, t)の間の差は無視できるほど小さくなります。つまり、S(x, t) ≈ S(x+Δx, t)と近似できます。

したがって、確率の変化は、

確率の変化 ≈ S(x, t)Δt + S(x, t)Δt

となります。

さらに、Δtを無限小に近づけることを考えると、Δtの項をまとめて、

確率の変化 = 2S(x, t)Δt

となります。

これを確率の変化が時間変化する波動関数Ψ(x, t)に比例するという条件に合わせるために、確率の変化を∂|Ψ(x, t)|^2/∂tと表します。

したがって、確率の変化は、

∂|Ψ(x, t)|^2/∂t = 2S(x, t)

となります。

最後に、流密度S(x, t)を確率流密度と呼び、負符号をつけて表すことが一般的です。したがって、

-∂S(x, t)/∂t = ∂|Ψ(x, t)|^2/∂t

という式が得られます。

以上が、確率流密度の式の導出の概要です。