複素数平面についての質問です。 なぜ、xy座標で(a,b)じゃなくてa+biなんですか？

複素数平面についての質問です。
なぜ、xy座標で(a,b)じゃなくてa+biなんですか？

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/07/09 05:42

実数xに対して

x=(x,0)
と定義する

i=(0,1)
と定義する

実数x,y,a,bに対して
(x,y)+(a,b)=(x+a,y+b)

(x,y)と(a,b)の積を

(x,y)(a,b)=(xa-yb,xb+ya)

と定義する

b=(b,0)
i=(0,1)

bi
=(b,0)(0,1)
=(b*0-0*1,b*1+0*0)
=(0,b)

a+bi
=(a,0)+(b,0)(0,1)
=(a,0)+(b*0-0*1,b*1+0*0)
=(a,0)+(0,b)
=(a,b)

∴
a+bi=(a,b)

この回答へのお礼

神様？

お礼日時：2023/07/10 22:13

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/07/10 09:12

「(a,b)じゃなくてa+bi」なんじゃなくて、

xy座標の (a,b) を複素数 a+bi に対応させて考える
ことを「複素数平面」って呼ぶだけだよ。
xy座標全体の集合も、 複素数全体の集合も
どちらも実二次ベクトル空間
(大雑把に言えば、実数２個で表せるってこと)
だから、一対一に対応させられるでしょう？

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2023/07/09 14:35

通常の xy 平面では、

・x 軸方向の単位ベクトルを →ex
・y 軸方向の単位ベクトルを →ey
とすると

A(ax, ay) の位置ベクトルは

　→A = ax･→ex + ay･→ey

と書けることを知ってる？

→ex = 1　（実数軸方向の単位ベクトル）
→ex = 1i　（虚数軸方向の単位ベクトル）
とすれば

　A(a, b) = a + ib

と書けるよね？

No.3 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/07/09 14:06

xy座標でxを実軸、yを虚軸とすれば、座標(a,b)を表す複素数はa+biになる、って事。

つまり、座標は(a,b)だよ。

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2023/07/09 10:10

複素数平面で x 軸を 実軸、y 軸を 虚軸 とすれば、

直交座標で (a, b) で良い筈です。

回転させたり 距離を求めたりの 計算上では、
a+bi とした方が 分かり易いのでは。