複素数平面と座標平面の対応について

本などを見ると、P=a+biとP(a,b)は一対一対応をしていると書かれてあるのですが、これについてどのように整理をつければよいのか迷っています。まず、複素数平面上を書くときは軸に「実軸、虚軸」とはっきり書かないといけないのでしょうか。それと、複素数平面上の点Pの横に(a,b)と書いてはだめですよね。絶対にP=a+biの形で添えないとだめですよね。つまりどこまで対応しているのか分からないんです。あくまで複素数平面と座標平面は別個のものだから、答案を書くときにはそれを別々に書かないとだめですよね。

それと、ベクトルとつなげるときには、複素数平面ではなくて座標平面で考えるんだと思うのですが、そうすると、回転のとき以外はすべて座標平面で考えた方がよいのでしょうか。複素数平面の使い方が余りよくわかりません。
よろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： starflora 回答日時： 2001/12/12 22:04

　

　　普通の座標平面だと、(a,b) と書くと、普通、ａがｘ軸、ｂがｙ軸です。複素平面でも (a,b) と書くと、ｂの方が複素数だと思いますが、Ｙ軸に「虚数軸」，Ｘ軸に「実数軸」と（または、Ｙが虚数軸、Ｘが実数軸などと）でも書いておけば、複素数はこの平面で (a,b) で表現できます。わざわざ、(a,bi)とか、(a+bi) と書く必要はありません（書いても構いません。ただ、複素数平面だと断り、どちらが虚数軸か実数軸かを明示すれば、(a,b) は無論、複素数を表現していることは明らかだからです。……ただ、混同が起こるようなら、P(a,bi) と書いた方がいいですし、分かり易くということなら、書いた方がよいでしょう。結局、見る人にとって、どこまで自明か、分かるかのは話だと思います。学校などでは、P(a+bi) と必ず書くのかも知れません。……他の人の回答で、虚数軸とか書かないでも、(a,bi) と書けばよいとありましたが、それもそうで、これは、見る人が分かればそれでよいということの例です。また、上にも書いていますが、分かり易いです）。
　
　　複素数平面なのですから、そこでの (a,b) のａは実数、ｂは虚数というのは前提としてあるからです。（正確に言えば、実数の平面でも、(a,b) というのは、例えば、ｉヴェクトルとｊヴェクトルなどの基底単位ヴェクトルの略表現なのです。しかしそんなことは考えないでしょう。ヴェクトル積などになってくると、三次元の基底単位ヴェクトルｉ，ｊ，ｋを使わないとうまく表現できないので使いますが、それでも、三次元座標の点は、(x,y,z) などで表現します。
　
　　「ベクトルとつなげるとき」というのが、何かよく分からないのですが、複素平面での原点から延びるヴェクトルというのは、一つの複素数を示しているのです。そのヴェクトルの長さは、実は、その複素数の絶対値になります。複素平面での二つの複素数ヴェクトルの合成というのは、実数部分と虚数部分をそれぞれ独立に合計して、新しい複素数を造っていることになります。
　
　　複素数平面というのは、複素数を分かり易く表現しているので、座標平面と同じように扱っていいのです。ただ、ヴェクトルの合成とか回転というのは、「意味」が違って来るということです。複素数平面のヴェクトルは、実際は一つの複素数スカラーで、座標平面のヴェクトルは、スカラーではなく、実際にヴェクトルだということです。意味の違いが分かっていれば、同じように使えます。
　

この回答へのお礼

starfloraさんこんにちは。お返事どうもありがとうございます。複素数の点の表し方にはいろいろな方法があるんですね。わかりやすく書けばどれでも良いというので安心しました。

＞複素数平面のヴェクトルは、実際は一つの複素数スカラーで、座標平面のヴェクトルは、スカラーではなく、実際にヴェクトルだということです。意味の違いが分かっていれば、同じように使えます。

複素数は座標ではなくてスカラーなので、ベクトルを考えるときにはわざわざ複素数を座標平面の点になおしてからベクトルとつなげて考えるという話を前に聞いたので、混乱していたのですが。この考え方は間違いなのでしょうか。

＞「ベクトルとつなげるとき」というのが、何かよく分からないのですが

ベクトルと複素数の関係は仰るように「複素平面での二つの複素数ヴェクトルの合成というのは、実数部分と虚数部分をそれぞれ独立に合計する」ものなので、座標計算と同じように計算できたり、点から点を引くと座標平面と同じように複素数平面でもベクトルができるというのは分かります。

そこでなのですが、座標平面上の点を回転する時には、座標を複素数表示に変換して複素数平面の点として回転するというのは分かります。問題は複素数平面でものを考えるときなのですが、例えば、複素数平面上のP,Q,R,Sで、→PQと→RSが90度で交わっていたとします。その情報を普通はQ-P=(S-R)k(cos±90+isin±90)と立式すると思うのですが、→PQ・→RS=0（内積）とやってはなぜだめなのでしょうか。それと、「Q-P=(S-R)k(cos±90+isin±90)」ではなくて「→PQ=→RS×k(cos±90+isin±90)」と書かないのはどうしてなのでしょうか。立前上は複素数平面はスカラーなので、ベクトルを登場させてはならないということでしょうか。何度もすいません。お返事していただければ幸いです。

お礼日時：2001/12/14 00:59

No.2 回答者： mowo 回答日時： 2001/12/12 21:27

実軸、虚軸とはっきり書かなくてもOKです。

座標点の表し方は（a,bi）というように虚数であると言うことが解ればよいでしょう。

この回答へのお礼

mowoさんお返事どうもありがとうございます。なるほど、採点者に複素数平面だと分かればそれで良いんですね。（a,bi）という書き方もあるんですか。初めて知りました。どうもありがとうございました。

お礼日時：2001/12/14 00:28

No.1 回答者： KaitoTVGAMEKOZOU 回答日時： 2001/12/12 21:16

ケースバイケースでやる。

ちなみに個人的な経験では複素数平面は書かなかった。書くスペースがないということもあるが、グラフなんか書かなくても大学の先生はわかっているので、式だけで済ますことが多かったと思う。たとえば、私のコメント欄に「魁！男塾」で出題された問題を解いているが、式だけで十分わかるでしょ？。

この回答へのお礼

KaitoTVGAMEKOZOUさんこんんにちは。お返事どうもありがとうございました。コメント欄を拝見させていただきました。（ｎ→∞）のお話が出てくるので、文型の私にはちとわからないところもあったのですが、だいたい分かりました。ただ、私は自分で解くときにグラフを書かないと分からないので、いつも書いています。時々回転系の問題で間違えることがあるので(^^)

お礼日時：2001/12/14 00:25