A 回答 (8件)
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No.1
- 回答日時:
逆でしょう。
重なっていたら、その両方に関係するのだから独立ではありません。
重なっていなければ、互いに影響がないのだから「独立」。
3つの場合でも同じです。
重なっていなければ独立。
No.3
- 回答日時:
事象の集合Aと事象の集合Bが「重なっていない」というのは、Aの補集合を¬Aと書くことにすると、
B ⊂ ¬A
A ⊂ ¬B
である。すなわち、「AでないときだけBが起こる。BでないときだけAが起こる。両方とも起こらないかもしれない。でも、両方とも起こるということはない」。
つまり両者に相関があり、だから両者は独立ではない。
しかし、重なっていれば独立か。いやそうは行きません。たとえば「Aであるときの方が、AでないときよりBが起こりやすい」
P(B|A)>P(B|¬A)
ということがあれば、相関があるんだから、両者は独立ではない。
というわけで、「重なっている」ということには、「これだけの情報じゃ、独立であるともないとも、まだ決まらない」という意味しかありません。
No.4
- 回答日時:
P(A∩B)=P(A)・P(B|A)
また、
P(A∩B)=P(B)・P(A|B)
だから、
重なった部分は、事象Aおよび事象Bに関しては、従属です。
独立というのは、事象Aおよび事象Bが生起していても生起していなくても、無関係に生起しうることを言うのですが、重なった部分P(A∩B)は、事象Aおよび事象Bが生起しているときでないと生起しませんから従属です。
一方、もしその他の性別という事象P(C)を取り上げたとき、あなたが日本人で、かつ日本に居住しているという事象P(A∩B)は、性別とは独立(性別とは無関係に)に生起します。
No.5
- 回答日時:
#4です。
補足ですが、
ベン図に重なり合いがあるとき、事象Aと事象Bは独立ですが、
もし、事象Aの円と事象Bの円とが重なり合いが無いとき、事象Aは事象Bの余事象の時にしか生起しませんので、排他という従属となります。
つまり、Bが生起しているときは、Aは生起し得ないです。
言い換えれば、Bの余事象が生起している時にしか、Aは生起しませんので、従属です。
重なっていなければ独立だという、間違った回答がありましたので、悪しからず。
No.6
- 回答日時:
#4です。
このご質問への回答は、「そのとおりです」
ベン図に重なり合いがあるとき、事象Aと事象Bは独立です。
理由は#5に書いた通りです。
以前の回答は、勘違いして、「重なった部分」のことを回答していました。
すみません。
ところで・・・、
確かに二値問題の生起確率の大小まで考えるべきだとのご回答(#2さん#3さん)もありますが、一般的には、相手の状態に関わらず生起できるのであれば、独立だとします。
その理由は、簡単に言うと、
エンドウ豆には、緑と黄色があり、シワがあるものと無いものがあるのですが、お互い無関係に生起します。つまり全ての組合せが生じ得ます。
ところが、各々の組合せの生起数は、優性遺伝の法則に従い比率が決まります。(メンデルの法則)
つまり、観測全体を対象にすると色とシワは従属なんですが、サンプル個々(豆1つぶ1つぶ)で見ると独立なのです。
どちらの立場を取るかは、文脈によります。
No.7
- 回答日時:
ベン図に重なり合いがあるとき、事象Aと事象Bは独立です。
男性か女性かを事象A、成年か未成年かを事象Bとしたとき、AとBは独立だって言いますよね。相手の事象に関係なく生起できるからです。
確率が不明だから、相関が不明だからそれは言えない、とか難癖付ける人はいません。
でも、コロナワクチンの副反応を考える時には、相関が重要になりますから、安易に独立だとは言えなくなります。
文脈で判断するとは、そういうことだと思います。
No.8
- 回答日時:
具体例で説明しましょう。
[1] サイコロを1回振って出た目xが「x∈{1,2,3}である」をA, 「x∈{1,3,5}である」をBとします。
すると、A∩B = {1,3} だから、AとBが「重なっている」例になっています。
「重なっている」を言い換えれば「A,Bが両方生じる確率は0ではない」ということであり、実際:
P(A∩B) = 1/3
ですね。
さて、もしA, Bが独立なら:AとBが両方生じる確率は
P(A∩B) = P(A)P(B)
となるわけですが:
Aが生じる確率P(A)、Bが生じる確率P(B)は
P(A) = P(B) = 1/2
なので、
P(A∩B) = 1/3 ≠ P(A)P(B) = 1/4
つまり、AとBは独立ではない。
つまりこれは「重なっていて、独立でない」という例です。
[2] サイコロを1回振って出た目xが「x∈{1,2,3}である」をA, 「x∈{2.4}である」をBとします。
すると、A∩B = {2} だから、AとBが「重なっている」例になっていて、
P(A∩B) = 1/6
です。
P(A) =1/2, P(B) = 1/3
なので、
P(A∩B) = 1/6 = P(A)P(B) = 1/6
つまり、AとBは独立。
なので、
Bが生じたという条件付きでAが起こる条件付き確率は
P(A|B) = P(A) = 1/2
Aが生じたという条件付きでBが起こる条件付き確率は
P(B|A) = P(B) = 1/3
です。
つまりこれは、「重なっていて、独立である」という例です。
[3] サイコロを1回振って出た目xが「x∈{1,2,3}である」をA, 「x∈{5,6}である」をBとします。
すると、A∩B = ∅ だから、AとBが「重なっていない」例になっています。
P(A) =1/2, P(B) = 1/3
なので、
P(A∩B) = 0 ≠ P(A)P(B) = 1/6
つまり、AとBは独立ではない。
一般に、AとBが「重なっていない」場合には(P(A)≠0かつP(B)≠0でありさえすれば)
P(A∩B) = 0 ≠ P(A)P(B)
だから、AとBが独立ではないのは当たり前です。
結局、「重なっていないなら独立でない」は確実に言える。なのでその対偶、「独立なら重なっている」も言える。しかし逆は言えない。
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