等比関数列型漸化式についてのしつもんです。 等比数列型漸化式と形が同じなのはわかりました。 下の2つ

等比関数列型漸化式についてのしつもんです。

等比数列型漸化式と形が同じなのはわかりました。

下の2つのEX1,2に付いて
(EX1)
形が同じなら2はどこに消えてしまったのですか？
整数は消えるのですか？

(ex2)
計算方法を教えてください

No.2 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/08/02 10:03

(EX1)

a(n+1)+2=3(a(n)+2)

F(n)=a(n)+2
とすると
F(n+1)=a(n+1)+2
だから
a(n)+2にF(n)を代入し
a(n+1)+2にF(n+1)を代入し

F(n+1)=3F(n)

となるから
F(n)が公比3の等比数列となるから

F(n)=F(1)・3^(n-1)

F(1)=a(1)+2
F(n)=a(n)+2
だから
F(1)にa(1)+2を代入し
F(n)にa(n)+2を代入し

a(n)+2={a(1)+2}・3^(n-1)

F(n)は等比数列だけれども
a(n)は等比数列ではありません
形は同じではありませんし
2は消えていません

(ex2)
a(n+2)-a(n+1)=5(a(n+1)-a(n))

F(n)=a(n+1)-a(n)
とすると
F(n+1)=a(n+2)-a(n+1)
だから
a(n+1)-a(n)にF(n)を代入し
a(n+2)-a(n+1)にF(n+1)を代入し

F(n+1)=5F(n)

となるから
F(n)が公比5の等比数列となるから

F(n)=F(1)・5^(n-1)

F(1)=a(2)-a(1)
F(n)=a(n+1)-a(n)
だから
F(1)にa(2)-a(1)を代入し
F(n)にa(n+1)-a(n)を代入し

a(n+1)-a(n)={a(2)-a(1)}・5^(n-1)
nをkに置き換えると
a(k+1)-a(k)={a(2)-a(1)}・5^(k-1)
k=1～nまで加えると
Σ_{k=1～n}{a(k+1)-a(k)}=Σ_{k=1～n}{a(2)-a(1)}・5^(k-1)
a(n+1)-a(1)={a(2)-a(1)}{(5^n)-1}/4
a(n+1)=a(1)+{a(2)-a(1)}{(5^n)-1}/4
∴
a(n)=a(1)+{a(2)-a(1)}(5^{n-1}-1)/4

この回答へのお礼

[ ]の見方勘違いしてました。
ありがとうございます！

お礼日時：2023/08/03 13:29

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2023/08/02 09:47

an が「ただの数値」ではなくて「関数形」の場合をいっているだけのこと。

　an = F(n)
と書いている。
ただの「書き方」だけの話です。

＞(EX1)
＞形が同じなら2はどこに消えてしまったのですか？
＞整数は消えるのですか？

上の応用として
　an + 2 = F(n)　　　①
と書いている。

別に「関数形」などにとらわれずに
　an + 2 = bn
と書いてもよい。

「２」は①の関数形の中に入っている。


＞(ex2)
＞計算方法を教えてください

何の？

ここでは、上の応用として
　a(n+1) - a(n) = F(n)
と書いている。
従って
　a(n+1) - an = F(n)

これも「関数形」などにとらわれずに
　a(n+1) - an = bn
と書いてもよい。
そうすれば
　b(n+1) = 5･b(n)

F(n) で書けば、n を順次書き出していけば
　F(n+1) = 5･F(n）
　F(n) = 5･F(n-1）
　F(n-1) = 5･F(n-2）
・・・
　F(3) = 5･F(2）
　F(2) = 5･F(1）

これを、下から順に代入していけば
　F(n) = F(1)･5^(n-1)
　F(N+1) = F(1)･5^n
になるよね？
（n と「５」をかける回数の関係だけに気を付ければよい）


あなたも、f(x) を f(t) と書いたとたんに「別な関数」になると錯覚する人かな？