写真の図は中心(a,b)半径rの円とその円周上の(x1,y1)における接線lと円の中心とlを結ぶ任意

写真の図は中心(a,b)半径rの円とその円周上の(x1,y1)における接線lと円の中心とlを結ぶ任意の点を(x,y)と表したものをxy平面上に図示したものです
写真の式は接線lの方程式を求めるために△ABCに三平方の定理を利用して立式、展開したものです。ここで質問なのですが、参考書ではこのような接線lの方程式は(x1-a)(x-a)+(y1-b)(y-b)=r²と書かれていますが、写真の式ではx(x1-a)+y(y1-b)=r²となり、違う形になってしまうのですが、①〜⑥の式変形の過程でどこか間違っていますでしょうか？また、どのように式を整理すれば、(x1-a)(x-a)+(y1-b)(y-b)=r²という形になりますか？解説お願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/08/08 20:36

図の通り

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2023/08/08 23:06

ベクトルを使うと、見通しよく計算できます。

　ご質問の問題は
　　(B - A)・(B - C) = 0 …(1)
であるということを言っている。この式は「BとAの差のベクトル(B - A )と、BとCの差のベクトル(B - C)とが直交している」ということをそのまま表しています。（「ベクトルXとYとが直交している」というのは「XとYの内積 X・Y が0である」というのと同じです。）
　ここで、A, B, Cの成分はそれぞれ
　　A = (a, b), B = (x1, y1), C = (x, y)
なので
　　B - A = (x1, y1) - (a, b) = (x1 - a, y1 - b)
　　B - C = (x1, y1) - (x, y) = (x1 - x, y1 - y)
である。
　一方、一般にベクトル(p,q)と(r,s)の内積は
　　(p,q)・(r,s) = pr + qs
ですから、(1)の左辺は
　　(B - A)・(B - C) = (x1 - a, y1 - b)・(x1 - x, y1 - y)
　　= (x1 - a)(x1 - x) + (y1 - b)(y1 - y)
である。だから(1)はA, B, Cの成分を使って
　　 (x1 - a)(x1 - x) + (y1 - b)(y1 - y) = 0 …(1')
と表せる。これが直線l上の点(x,y)の方程式です。すなわち
　　((x,y)は直線l上の点である) ⇔ ((x,y)は(1')を満たす)
ということ。

　ですが、（なぜだか知らんが）どうしてもrを登場させたいということでしたら、もう一捻り。rは(B - A)の長さであり、すなわち
　　(B - A)・(B - A) = r^2 …(2)
である、ということを使う。
　(2)から(1)を引き算すると
　　((B - A)・(B - A)) - ((B - A)・(B - C)) = r^2
左辺を(B - A)で括って
　　(B - A)・((B - A) - (B - C)) = r^2
カッコ内を整理すれば、結局(1)は
　　(B - A)・(C - A) = r^2 …(1'')
と表せる。
　そこで(1'')を成分で表すために
　　C - A = (x, y) - (a, b) = (x - a, y - b)
を(1'')に代入して
　　 (x1 - a, y1 - b)・(x - a, y - b) = r^2
すなわち、
　　(x1 - a)(x - a) + (y1 - b)(y - b) = r^2 …(1''')
だから
　　((x,y)は直線l上の点である) ⇔ ((x,y)は(1''')を満たす)
と言える。「参考書」に書いてあるのはこっちの形ですね。

No.2 回答者： sc348253 回答日時： 2023/08/08 19:27

(x1-a)^2 +(y1-b)^2 =r^2 なら　わかるが！

∴　x1^2 -2a x1+a^2 +y1^2 -2b y1+b^2 =r^2

No.1 回答者： sc348253 回答日時： 2023/08/08 19:12

-a+y1^2 -b=r^2 がおかしいし　これ以上進まないと思います。

接線と言えば微分ですから
(x-a)^2 +(y-b)^2 =r^2
両辺をxで微分して
2(x-a)'(x-a)+2(y-b)'(y-b)dy/dx=0
2(x-a)+2(y-b)dy/dx=0
(x-a)+(y-b)dy/dx=0
∴ dy/dx= -(x-a)/(y-b)
よって傾きは　-(x1-a)/(y1-b)
∴　接線は　y-b={-(x1-a)/(y1-b)}(x-a)
を整理すれば　出てきます。または
(a,b)から(x1,y1)までの接点(x1,y1)における接線(n)の法線の傾き(m)から
m・n= -1から接線の傾き(n)がでてきますので　あとは
(x1-a)^2 +(y1-b)^2 =r^2 から考えてください！
更に
点と直線との公式から
点(a,b)から求める接線までの距離が半径からも求められるでしょうし
接線の式を円の方程式に代入して重解として判別式=0からも求まるでしょう！