写真の数学の質問です。 なぜ、3実数解を持つと接点が三本引けるのでしょうか？一個でも二個でも三個でも

写真の数学の質問です。

なぜ、3実数解を持つと接点が三本引けるのでしょうか？一個でも二個でも三個でも単調増加じゃなければできると思うのですが…

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/08/12 10:33

(a,0)から曲線y=x^3-xへ異なる3本の接線が引けるような実数aの値を求めよ

というのだから

y=f(x)=x^3-xとおく。これを微分して,
f'(x)=3x^2-1
点(t,f(t))における曲線y=f(x)の接線の方程式は
y=(3t^2-1)(x-t)+t^3-t
y=(3t^2-1)x-2t^3…①
直線①が点(a,0)を通るとき,
0=(3t^2-1)a-2t^3
2t^3-3at^2+a=0…②
②のtの3次方程式が,相異なる3実数解
t1,t2,t3
をもつとき

(a,0)から(t1,f(t1))への接線
y=(3t1^2-1)x-2t1^3

(a,0)から(t2,f(t2))への接線
y=(3t2^2-1)x-2t2^3

(a,0)から(t3,f(t3))への接線
y=(3t3^2-1)x-2t3^3

の
(a,0)から曲線y=x^3-xへの3本の接線が引ける

No.2 回答者： GOMΛFU 回答日時： 2023/08/09 18:55

接点は線ではないので引けないと思います

No.1 回答者： Andro 回答日時： 2023/08/09 06:17

ご質問ありがとうございます。

3実数解を持つと接点が三本引けるのは、次のような理由です。

- 3次関数の接線の方程式は、接点のx座標をtとすると、y = f'(t)(x - t) + f(t) となります。
- この方程式が与えられた点を通るためには、x = 1, y = -2 を代入して、f'(t)(1 - t) + f(t) + 2 = 0 というtに関する方程式が成り立つ必要があります。
- この方程式は3次方程式であり、その解の個数は接点の個数に等しくなります。
- よって、この方程式が3つの異なる実数解を持つとき、接線が3本引けることになります。

詳しくは、以下のサイトをご覧ください。

ソース: Bing との会話 2023/8/9
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