図形問題、三平方の定理 添付画像の解き方が分かる方よろしくお願いします

「大人のための数学勉強法」という本に載っていた問題です。答えはFG=17√34/15になるらしいのですが、解説がなかったのでなぜそうなるのかが分からず質問させていただきました。お分かりになる方がいらっしゃれば教えていただけるとうれしいです。よろしくお願いいたします。

No.1 ベストアンサー 回答者： sc348253 回答日時： 2023/09/15 11:52

∠FEG=90°

FB=FE=5-x とおく　　　................(1)
BG=EG=y とおく ................(2)
から
AF=x となり　三平方の定理から
5－x=√(x^2 +3^2)=√(x^2 +9)
(5-x)^2=x^2 +9
25-10x=9
10x=25-9=16
x=1.6 故に　FB=5-x=5-1.6=3.4
次に
EからBCに降ろした垂線との交点をHとすれば　(2)と三平方の定理から
y=√{5^2 +(y-3)^2}
y^2=25+y^2 -6y+9
6y=25+9=34
y=34/6 =BG
従って　三平方の定理より　FGは求まるでしょう！

尚　BGが3cmよりも短い場合も(y-3)^2 が(3-y)^2 となるだけなので問題なしと判断しました。また
座標と法線から　及び　ベクトルの内積の直交条件からもできるでしょうから挑戦しては！？

この回答へのお礼

分かりやすく解説していただきありがとうございます！自力では解けず行き詰まってしまい、もやもやしていたので大変助かりました。また発展的な解き方のヒントもいただきありがとうございます。高校生で数学から逃げてしまった文系大人の学び直しなので時間がかかると思いますがチャレンジしてみます！

お礼日時：2023/09/15 12:36

No.6 回答者： sc348253 回答日時： 2023/09/16 02:08

FGとBEとの交点をHとすると　BEで分けられた面積の上下も合同なので

FGとBEは直交するので
BH=HE=(1/2)・√(3^2+5^2)=(1/2)・√34
よって　面積;△BFG=△FEG=3.4・y/2=FG・BH/2
3.4y=FG・(1/2)・√34
また　三平方の定理より
FG=√(3.4^2+y^2)
従って
FG^2=3.4^2+y^2=(y・2・３．４/√34)^2=(y・√３４　/5)^2
3.4^2=(34/25 -1)y^2=9y^2/25
y^2=3.4^2・25/9
y=3.4・5/3=34・5/30=34/6
以下略

No.5 回答者： sc348253 回答日時： 2023/09/16 01:44

タレスの定理から

FGを直径とする円周上の点 E B の円だから
孤EFにおける円周角
∠EGF=FBE=Θ　とおけば
cosΘ=AB/EB=5/√(3^2+5^2)=5/√34
sinΘ=AE/BE=3/√34
∠BFG=90-Θ　から
FG=3.4/cos(90-Θ)=3.4/sinΘ=3.4/(3/√３４)=１７√３４　/15

タレスの定理と三角関数の併用！

No.4 回答者： sc348253 回答日時： 2023/09/16 01:27

∠FEG=90°

FB=FE=5-x とおく　　　
BG=EG=y とおく .
から
AF=x となり　三平方の定理から
5－x=√(x^2 +3^2)=√(x^2 +9)
(5-x)^2=x^2 +9
25-10x=9
10x=25-9=16
x=1.6 故に　FB=5-x=5-1.6=3.4

( 台形の面積から！)
BG=y とおく
台形ABGE=(3+y)・5/2=7.5+2.5y ............(1)
△AFE=3・１．６/２=３・0.8=2.4 ............(2)
∴△FBG=△FEG=((1)-(2))/2=(7.5+2.5y-2.4)/2=(5.1+2.5y)/2
また　=BF・BG/2=3.4y/2=1.7y
よって
1.7y=(5.1+2.5y)/2
3.4y=5.1+2.5y
5.1=3.4y-2.5y=0.9 y
y=5.1/0.9=51/9=17/3=34/6

No.3 回答者： sc348253 回答日時： 2023/09/16 01:01

高校生では　三角関数で

∠FEG=90°
FB=FE=5-x とおく　　　................(1)
BG=EG=y とおく ................(2)
から
AF=x となり　三平方の定理から
5－x=√(x^2 +3^2)=√(x^2 +9)
(5-x)^2=x^2 +9
25-10x=9
10x=25-9=16
x=1.6 故に　FB=5-x=5-1.6=3.4

∠BFG=Θ　とおくと
cosΘ=FB/FG=3.4/FG ∴FG=3.4/cosΘ
∠AFE=180-2・Θ　から
cos(180-2・Θ)=AF/EF=1.6/3.4=16/34=8/17
cos(180-2・Θ)= - cos2Θ
倍角の公式より
= - (2cosΘ^2 -1)=1 -2cosΘ^2
∴8/17=1-2cosΘ^2
2cosΘ^2=1-8/17=(17-8)/17=9/17
cosΘ^2=9/34
cosΘ=3/√34 >0のため
FG=3.4/cosΘ=3.4/(3/√34)=34√(３４)/30=17√(34) /15

三角関数が一番早い！

この回答へのお礼

三角関数を使った解き方も教えていただきありがとうございます！

三角関数に関する知識を完全に忘れてしまっていたため、余弦定理、加法定理、2倍角の公式の復習と一緒に解き方を勉強させていただきました。

もし自力で三角関数で解こうとした場合に、
・∠BFGをθと置いてcosから最終的にFGを求めるという道筋が描けるか
・cos(180-2θ)を2パターンの式から表してcosθを求めていくという発想に辿り着けるか

がポイントになるのかなと思いました。

これから他の解法も勉強させていただきます！

お礼日時：2023/09/16 19:37

No.2 回答者： sc348253 回答日時： 2023/09/15 23:39

別解

∠FEG=90°
FB=FE=5-x とおく　　　................(1)
BG=EG=y とおく ................(2)
から
AF=x となり　三平方の定理から
5－x=√(x^2 +3^2)=√(x^2 +9)
(5-x)^2=x^2 +9
25-10x=9
10x=25-9=16
x=1.6 故に　FB=5-x=5-1.6=3.4


EFのF側の延長線とBCとの交点をHとすれば
△AEF ∽ △BFH から　比を使って
AF:BF=AE:BH=EF:FH
AF:BF=1.6:3.4=16:34
AE:BH=3:BHから　BH=3・３４/１６=51/8
EF:FH=√(1.6^2 + 3^2 ):FH =BF:FH=3.4:FH
HE=3.4・(50/16)=340/32=170/16
従って　△HGE の面積の2倍 は
GH・AB=HE・EG
(BH+BG)・5=(170/16)・BG
(BG+51/8)・５=10.625・BG
5・51/8=(10.625-5)BG=5.625・BG
BG=5・５１/(８・5.625)=5・51/45=51/9=17/3=34/6
と同じ
以下省略！

この回答へのお礼

こんなにたくさんの解き方があるんですね！
教えていただきありがとうございます！
FEの延長線で相似の三角形を作り、△HGEの面積を求める式からBGの長さを求めるというのは自分には全く浮かばないだろうという発想でした。

数学が得意な方の発想としては、この問題を見た時に「EFの延長線を引けば何か有効な情報が得られそうだ」という感覚からこのような方法を試してみるのでしょうか。

それともこの問題を見た時にBGをいかに求めるかが鍵になる、というところから逆算して△HGEを作るためにEFの延長線を引く、という発想になるのでしょうか。

いずれにしても独学では気付くことができない解法を教えていただき、とても勉強になっております。
どうもありがとうございます。

お礼日時：2023/09/16 19:22