(先程と似たような質問になりますが)部分積分の公式についてですが、青丸部分の中に積分定数が含まれてい

(先程と似たような質問になりますが)部分積分の公式についてですが、青丸部分の中に積分定数が含まれているから、赤丸部分の積分定数は省かれているのでしょうか？

質問者からの補足コメント

• みなさまありがとうございます
  理解できました

    補足日時：2023/09/19 08:43

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/09/17 19:02

←No.3

積分定数は、自由な書き方でよいのですが、
(1/√π)e^(1/C) はさすがにまずかろうと思います。
複素関数のときにはそれでも良いのだけれど、
実関数しか習っていない場合には問題があります。

＞ ∫f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) + C1 - ∫f'(x)g(x)dx というように書くことはできますか？

もちろんできます。
微分積分を勉強しようというのなら、その前に、
f(x)g(x) + C1 - ∫f'(x)g(x)dx と f(x)g(x) - ∫f'(x)g(x)dx + C1 が同じ式である
ことぐらいは理解しておいてください。

No.4 回答者： finalbento 回答日時： 2023/09/17 14:47

お礼コメントの質問についてですが、私は「間違いではないかもしれないがやめた方がいい」と思います。

そもそも部分積分の公式とは「積分を実行するとこのようになる」と言う意味ではなくて「このような形の積分はこう言った形の積分に変形できる」と言う意味だと解釈するべきだと思います。そう考えるとしたら、積分がまだ実行されていない時点で積分定数を書いてしまうのはおかしな話でしょうし、第一お礼コメントの式の書き方では「どの積分についての積分定数か分かりにくい」と言う事になりそうな気がします。

なおこれも私見ですが、一無量大数歩譲って積分定数を書くとしても、お礼コメントのような位置ではなくて

f(…)dx=g(…)-∫h(…)dx+C

と言う具合に最後に書いた方がいいと思います。理由は「お礼コメントの書き方は美しく見えない」と言う単純な理由です。積分定数を都合でどんどん書き換えて行くのも「そのままでは美しくないから」と言う理由ですし。

No.3 回答者： finalbento 回答日時： 2023/09/17 14:01

「赤丸の部分の積分定数」なる意味が正直分かるような分からないようなですが、ひょっとして写真の部分積分の公式の中の右辺の積分部分を左辺に移項した

∫f(x)g'(x)dx(…①)

+∫f'(x)g(x)dx(…②)

=f(x)g(x)

と言う式において、①の積分の積分定数C1と②の積分の積分定数C2を別々に書かなくていいのか、と言った事でしょうか。だとしたら「別々に書かなくていい」と言う結論になります。積分定数は要するに「不定積分には定数分だけの任意性がある」と言うだけなので、積分定数の形自体には数学的に何の意味もありません。極端な話、不定積分の公式に出て来る積分定数Cを

(1/√π)e^(1/C)

と言うわけの分からない形に書いたとしても数学的には何の問題もありません。乱暴な言い方に聞こえるかもしれませんが、積分定数なんて(数式に矛盾等がない限り)こちらの都合のいい形に勝手に書き換えてしまって構わないものです。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます
∫f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)+C1-∫f'(x)g(x)dxというように書くことはできますか？

お礼日時：2023/09/17 14:13

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/09/17 10:52

うーん、これは... 哲学的というか、

不定積分や積分定数の意味を問いかける深い質問ですね。
不定積分は、教科書ではこう定義されています。
------------------------------------------------------------------------------------
F’(x) = f(x) であるような関数 F(x) を、関数 f(x) の原始関数という。
関数 f(x) の原始関数をまとめて ∫f(x)dx と表し、f(x) の不定積分という。
すなわち、∫f(x)dx = F(x) + C (Cは積分定数).
------------------------------------------------------------------------------------
「まとめて」って何だ？ いくつかの関数をまとめたものは、関数なのか？
∫f(x)dx は、関数ではなく、そのような関数の集合でも表しているのだろうか...
考え始めると、眠れなくなります。
不定積分がそのような正体不明なものだと、不定積分を含む等式を
どのように解釈したらよいものか。

集合で ∫f(x)dx = { F(x) + C ｜ Cは定数 } とすれば
定義の式はとりあえず意味を持つけれど、∫f(x)dx が関数ではなくなってしまい
初期条件を入れて不定積分から1個の原始関数を定めるような計算が
うまく書けなくなります。

これの変化球で ∫f(x)dx = F(x) + C を { ∫f(x)dx } = { F(x) + C ｜ Cは定数 }
と解釈する手もなくはないが、等号をこんな自由気ままに使ってよいものか。
長い計算の中で変化球の等号と普通の等号が混在すると、混乱しそうです。

わりと堅実な解釈は、教科書では説明不足の式を
∃C, ∫f(x)dx = F(x) + C と理解することだと思います。
∀C じゃなく ∃C だから、積分定数は
「任意」定数じゃなくて、等号が成り立つような C を適切に選ぶことが可能
という意味になります。

しかし、こう解釈すると、我々が普段やっている積分定数の使い方は
間違っていることになってしまうのです。
∫f(x)g’(x)dx = f(x)g(x) - ∫f’(x)g(x)dx という式は、
∫f(x)g’(x)dx = A(x) + C1,
∫f’(x)g(x)dx = B(x) + C2 と両辺に隠れた積分定数を含んでいるため、
∫f(x)g’(x)dx = f(x)g(x) - ∫f’(x)g(x)dx + C (Cは定数) と
式中に陽に C を置かなければ等号が成立しません。
+ C を書き込むことによって、C1, C2 がどんな値でも
等号を ∃C の意味で解釈できるようになるのです。

この解釈で積分の式変形を書こうとすると、積分定数の個数がやたらと多くなって
各行が煩瑣だし、定数を表す文字を選ぶにも困る場合があります。

...そんなことから、質問文中のあなたの解釈くらいのところで手をうつ
のが、運用上は便利なのだと思います。
左辺の積分定数は任意定数、右辺の積分定数はうまく選べば等号が成立する
という等式っていうのも、かなり気持ちわるい代物ではありますが。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2023/09/16 23:34

そういうことと解釈すればそれでよいでしょう。

別に、書いてもいいんですよ？
どうせ「任意の定数」で「いくつでもよい」のですから。