空集合の概念が数学で認められるまでにも長い時間を要したって本当？

締切済

質問者：paraspor
質問日時：2023/09/25 23:23
回答数：4件

ジョー・セルコ「プログラマのためのSQL」という本に次の記述があります。

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ゼロと同じく、空集合の概念が数学で認められるまでにも長い時間を要した。空集合において問題になったのは、以下のようなことだった。●そもそも要素が1つもないなら、その集合というのはどうやって作るのか●空集合は自身の部分集合なのか●空集合はすべての集合の部分集合なのか●単一の普遍的な空集合があるのか、それとも各タイプの集合別にたくさんの空集合があるのか
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実際に数学史上このような議論があったのでしょうか？
少なくとも空集合を認めないと、{1}∩{2}は何なの？という話になりますし、
すでに集合論を学んだ身としては、何十年も続く論争になりそうには思えないのですが…

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回答 (4件)

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No.4

回答者： ssaw
回答日時：2023/09/27 15:35

そういう論争があったかどうかは知りませんが

>単一の普遍的な空集合があるのか、それとも各タイプの集合別にたくさんの
>空集合があるのか

について考えてみました。

Hakellというプログラミング言語があります。
Haskellでは、整数1つのリスト、[1]から要素を取り除くと空リストになります。

tail [1] → []

同様に、真理値1つのリスト、[True]から要素を取り除くと空リストになります。

tail [True] → []

ところが2つの空リストが等しいかどうか調べるとerrorになります。

(tail [1])==(tail [True]) → error

同じタイプのリスト同士ならerrorになりません。

(tail [1])==(tail [2]) → True
(tail [True])==(tail [False]) → True

つまりHaskellでは、タイプが違うリストは要素の数が0個の場合でも
区別されます。

タイプについてのこうした扱いは元々、集合論のパラドクスへの対応として
考え出されたものらしいので、そちらでも、タイプが違う集合は要素の数が
0個の場合でも区別するべきという主張やそれに対する反論が出て論争に
なったということはありそうな気がします。

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No.3

回答者：ありものがたり
回答日時：2023/09/26 18:45

「○○という性質を満たすもの全て」という素朴な考えは

古代ギリシャのころから見られるが、そのときは
その全ての元のほうを考えていて、元の入れ物である
集合のほうを数学の対象として捉えるようになったのは
カントールからだと言われている。ヒルベルトが素朴集合論を
「カントールの作った楽園」と呼んだのも、それが所以。
カントールの集合の本が1890年頃の出版だが、そのとき
空集合の概念が使われていたかどうかは知らない。
使われていたに違いないとは思うのだけど、読んだことないから。

公理的集合論となると、明らかに空集合が使われていて、
ツェルメロの集合論が1910年くらい。その間の10〜20年は
集合論が荒れに荒れた時代だから、「空集合とは何ぞや」みたいな
悪い意味で哲学的な議論が起こっていた可能性はある。

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No.2

回答者： stomachman
回答日時：2023/09/26 08:02

> ゼロと同じく、

とか言う以上は、当然文献を示しているんじゃないのかなあ。

　さておき、「集合の概念」は、無限個の要素を持つ集合を考えるのでなくては、面白くもなければ役にも立たないわけで、{1}だの{2}だの{1}∪{2}だのと書いているだけじゃしょうがない。

　黎明期の「集合の概念」においては、集合は内包的に定義され、すなわち「コレコレの性質を満たすもの全部」というのが集合である。ならば「コレコレの性質を満たすもの」が存在しない場合も当然あり、それが空集合である。

　以上で

> ●そもそも要素が1つもないなら、その集合というのはどうやって作るのか

は決着している。

　「コレコレの性質を満たすもの全部」と「アレアレの性質を満たすもの全部」が等しいかどうかは、「コレコレの性質」と「アレアレの性質」は同等か、と問うのと同じ。

　なので

> ●単一の普遍的な空集合があるのか、

は決着している。また、「部分集合」について

　「コレコレの性質を満たすもののうちで、ソレソレの性質を満たすもの全部」は、「コレコレの性質を満たすもの全部」に対する部分集合である。

　なので

> ●空集合は自身の部分集合なのか
> ●空集合はすべての集合の部分集合なのか

も決着している。ハナっから論争の余地はないでしょう。

　でも、素人数学談義において「空集合とはなんぞや」を論じて楽しむのが流行した時期もあったのかもしれんですね。（しかしご紹介の本が、「{1,1}と{1}は同じか？」というプログラマにとってこそ「切実」っぽい話を取り上げないのはなぜだろうなあ。）