No.1
- 回答日時:
ネーター環は、イデアルの昇鎖が停留する可換環です¹。
ネーター環のイデアルの昇鎖律によれば、ネーター環においては、イデアルの昇鎖は有限回で停止します¹。具体例として、以下のようなネーター環とイデアルの昇鎖律を考えてみましょう。
**例**: $R$ を整域とし、$I_1 \subset I_2 \subset I_3 \subset \ldots$ を $R$ のイデアルの昇鎖とします。このとき、$R$ がネーター環であれば、ある正整数 $n$ が存在して、任意の $i \geq n$ に対して $I_i = I_n$ が成り立ちます。
この具体例では、整域 $R$ のイデアルの昇鎖がある段階から停止することが分かります。このような性質を持つネーター環は、多くの数学的な応用において重要な役割を果たしています。
ソース: Bing との会話 2023/9/26
(1) ネーター環 - Wikipedia. https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8D%E3%83%BC …
(2) ネーター環でない例 - Takatani Note. https://takataninote.com/ring2/noether.html
(3) 主イデアルに関する昇鎖条件 - Wikipedia. https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%BB%E3%82%A4 …
(4) ネーター環の定義と性質 - Irohabook. https://www.irohabook.com/noetherian-ring
(5) 昇鎖条件 - Wikipedia. https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%98%87%E9%8E%96 …
(6) undefined. https://projecteuclid.org/euclid.dmj/1077475897
No.2
- 回答日時:
#1のオリジナル
https://sl.bing.net/bWZs8d9fVTw
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