【3月6日実施】システムメンテナンス実施のお知らせ

解法とこの問題の難易度を詳しく教えてくれませんか。

メチャクチャ難しいです。

A 回答 (7件)

xが奇数なのは明らかなので、


  x = 8m + (2k + 1) (k∈{0,1,2,3})
とする。
[1] k=0のとき
  x = 8m + 1
  x^2 + 7 = (2^6)m^2 + (2^4)m + (2^3)
   = (2^3)((2^3)m^2 + (2^3)m + 1)
  2^(n - 3) = (2^3)m^2 + (2^3)m + 1
右辺は奇数。左辺が奇数になるのはn=3のときだけなので
  n = 3
従って
  x^2 + 7 = 8
すなわち、正の整数解は
  (x, n) = (1, 3)
だけ。
[2] k=1のとき
  x = 8m + 3
  x^2 + 7 = (2^6)m^2 + 3(2^4)m + (2^4)
   = (2^4)((2^2)m^2 + 3m + 1)
  2^(n - 4) = (2^2)m^2 + 3m + 1
[2-1] mが偶数のとき
  2^(n - 4) = (2^2)m^2 + 3m + 1
右辺は奇数。左辺が奇数になるのはn=4のときだけなので
  n = 4
従って
  x^2 + 7 = 16
すなわち、正の整数解は
  (x, n) = (3, 4)
だけ。
[2-2] mが奇数のとき
…という調子でドンドン場合分けする。難しくはないが、ひたすらメンドくさい。
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あー、No.2 ぜんぜんデタラメだったな。



x ≧ 1 より 2^n ≧ 1^2 + 7 = 8. よって n ≧ 3.
x^2 + 1 ≡ 0 (mod 2) より、 x ≡ 1 (mod 2).
n = 3 + m, x = 2y + 1 と置く。 m, y は非負整数である。
代入して、 y(y+1) + 2 = 2・2^m.

mod 4 での y(y+1) が下表のようであることから、
 y   0 1 2 3
 y(y+1) 0 2 2 0
{ m = 0 かつ y ≡ 0, 3 (mod 4) } または
{ m ≧ 1 かつ y ≡ 1, 3 (mod 4) } だと判る。

m = 0 の場合:
n = 3, x = 1 が解になる。

m ≧ 1 かつ y ≡ 1 (mod 4) の場合:
m = 1 + L, y = 4z + 1 と置いて代入すると
4z^2 + 3z + 1 = 2^L だが、
さてこれからどーしたものか...
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When x is positive integer,


the number x^2+7 is a power of 2 only in the following five cases:
x=1,3,5,11,181
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問題間違って無いかい?


自然数(x,n)の組は無限に在るよ・・・・・。

xが奇数であって、2乗+7が、素因数2だけ。

つまり、(2^n-7)の平方数がxなんだから・・・・・・・。
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ちなみに


(n,x)=(3,1), (4,3), (5,5), (7,11), (15,181)・・・・・?
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x^2 + 7 ≡ 2^n (mod 8).


mod 8 での平方が下表のようであることから、
 x  0 1 2 3 4 5 6 7
 x^2 0 1 4 1 0 1 4 1
両辺は 0 (mod 8) であり、
x は奇数 かつ n ≧ 3 と判る。
x = 2y + 1, n = 3 + m と置くと、 y, m は非負整数で
y(y+1) + 1 = 2^m と

y(y+1) + 1 ≡ 2^m (mod 4) が成り立つ。
mod 4 での y(y+1) が下表のようであることから、
 y   0 1 2 3
 y(y+1) 0 2 2 0
両辺は 1 (mod 4) であり、
y ≡ 0, 3 (mod 4) かつ m = 0 と判る。

これで n = 3 に決まったから、
x^2 + 7 = 8 を解いて x = 1.
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