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確率の問題解こうとした場合
確率=求める数/起こり得る総数
で分母はだいたい問題ないのですが、
分子を求めようとすると、場合分けをする流れになるとおもうのですが、どういうときに場合分けするか見分け方がはっきりわかりません
(確率は分母分子が出れば、
あとあまり問題ないので順列の問題を例に出しますが)

例〜袋の中に1.2と書いた玉と何も書いてない玉の3つの玉が入っている場合、その袋から2個取り出して最初に引いた玉に数字が書いている場合並べ方は何通りか

A①最初に引くのが①②だから2通り、最後に引くのは残りの2通りで2☓2= 4通り
B(場合分け)
最初に①を引く場合、最後に引くのは残り2個で通り、
最初に②を引く場合.最後に引くのは残りの2個で2通りで
2+2=4通り
質問1〜確率の問題では、分子を出す場合、①のように、場合分け必要ない場合もある。
場合分けしなければならないパターンとはどういうときですか?明確に判断できる方法ありますか?
必ず場合分け必要な場合といらない場合2通りの解法があるのですか?
質問2〜①と②結局同じことを行っているのでしょうか? 
質問③〜
確率=求める数/起こり得る総数。
を使う場合。
組み合わせCと、順列Pは、分子Cなら分母もC. 分子Pなら分母もPのように、分子分母揃えないといけないと思うのですが、
基本は順列にしたほうがいいのですか?

質問者からの補足コメント

  • つらい・・・

    誤字有りました
    →質問1〜確率の問題では、分子を出す場合、①のように、場合分け必要ない場合もある。

    訂正〜確率の問題では、分子を出す場合、Aのように、場合分け必要ない場合もある。
    と訂正します

      補足日時:2023/11/05 16:31
  • >「場合の数」が共通であることが判っていれば、〜「場合の数」が共通とはどういうことですか?
    また共通でない場合は具体的にどういうときですか?
    お忙しいところすみませんが再回答いただければありがたいです

    No.5の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2023/11/09 12:09

A 回答 (6件)

疑問をもったらとことん自分の頭にある考えで説明できるまで考え抜きましょう。

確率を計算するときの場合の数の和と積(使っている用語が現在の教育課程で使われているかどうか疑問ですが?)をとりあえず説明します。2つの場合A,Bがそれぞれ独立な時、2つのことが起きる場合の数はn(A)n(B)それぞれの積、場合が排他的なとき、どちらかが起きる場合はそれぞれの和n(A)+n(B)になる。これが基本で2つの場合が排他的ではないときn(A)+n(B)-n(A∩B)で求められます。
順列では個別に識別できることが重要で、N個の玉から最初の1個を選ぶ場合の数n(1)=N,2個目を選ぶ場合の数n(2)=N-1と考えます。N個からK個を取り出し並べる時には、N個からN個を取り出し並べる場合の数を(N-K)個から(N-K)個を取り出し並べる場合の数で割れば求められることも分かります。
ところでN個からK個を取り出し並べた場合が区別できるのは玉が個々に区別できるからで、区別できないならそれがどれだけ過大かというとK個の区別できる玉を並べる場合の数です。それで割れば組み合わせの場合の数が求められます。このように考えて問題の解答を再検討し言語化して理解しましょう。
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質問1


質問文中の例題の場合、② の計算が 2+2 と同じものどうしの和になります。
別の問題で 3+3+3+3+3 とかになってもよいのですが、このように
場合分けして考えて同じものどうしの和が出てくるケースでは、
これを掛け算に書き換えて ① のような立式が可能です。
場合分けした各場合の「場合の数」が共通であることが判っていれば、
場合分けを省略して最初から掛け算の式で書くことができます。
それだけの話です。

質問2
そのとおり。結局同じことを行っているのです。

質問3
前の回答者さんも書いているとおり、
何と何の確率が同じか?が大切なのですが...
そういう話が難しくてついてけない場合、
下品な処世術としては、「常に P のほうを使う」ことに決めてしまうのが無難です。
C が使える問題は、C を使うと計算が少し楽になりますが、
P を使っても、正しく使えば正解することができます。
その一方で、P を使うべき問題に C を使ったら、誤答しか出ません。
同じことを別の標語で「区別できるものは可能な限り区別せよ」ともいいます。
この回答への補足あり
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>丁(和が1偶数)


あれれ? 

和が偶数

です。
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場合の数の単純な割り算で確率を計算する場合


各場合の「確からしさ」が全て同じことが大前提になります。
従って、どういう場合わけの場合「確からしさ」が同じになるか知らないと
使えません。

例えば、

2つサイコロの目を、場合を目の昇順で表すとして
1-1, 1-2, 1-3,~,1-6
2-2, 2-3, 2-4,~2-6
:
:
6-6

は21通り

うち丁(和が1偶数)は
1-1、1-3、1-5、2-2、2-4、2-6、3-3、3-5、4-4、4-6、6-6
の11通り
よって丁の出る確率 11/21

は勿論誤りです。
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ざっくり言って


and なら掛け算
or なら足し算です。
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この回答へのお礼

ありがとう

敏速な解答ありがとうございます

お礼日時:2023/11/05 16:54

確率の問題で場合分けが必要なのは、求める数(分子)を計算する際に、異なるパターンが複数考えられる場合です。



例えば、質問の例題では、最初に引く玉が「1」か「2」かで場合分けする必要があります。「1」を引くパターンと「2」を引くパターンは別々に考える必要があるため、場合分けが必要になります。

場合分けをしなくても同じ結果が得られる場合もあります。例題のA1のように、最初に引く玉を特定せずに場合分けしなくても、同じ結果が得られることがあります。

ただし、場合分けをせずに解くことは、計算過程がわかりにくくなる可能性があります。できるだけ明確に場合分けをするのが望ましいと言えます。

質問1と2は、同じ結果になっていますが、計算の過程が異なります。Bのように場合分けを明示する方が、計算過程が明確になります。

質問3について、確率の分子分母は基本的には順列で揃えるのが一般的です。
組み合わせで分子分母を揃える場合もありますが、順列の方が汎用的で安全だと考えられています。

場合によっては組み合わせの方がシンプルになることもありますが、はじめは順列で揃えることをおすすめします。組み合わせを用いる場合は、きちんと理由付けできるようにする必要があります。
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この回答へのお礼

ありがとう

端的かつわかりやすい説明ありがとうございます
参考にさせていただきます

お礼日時:2023/11/05 16:33

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