整数問題

a^2 ＋ b^2 = C^2　が成り立つとき
aかｂどちらかが３の倍数であることを示せ。

をＭＯＤ使わずに証明する方法ありますでしょうか？

aかｂはどっちかが奇数で、もう１方は偶数、ｃは奇数ってところまでは分かったんですが・・・。

No.4 ベストアンサー 回答者： rinkun 回答日時： 2023/11/10 15:23

a, b, Cは全て整数で良いのですよね。

整数は3n, 3n+1, 3n-1の何れかで表せる。それぞれ2乗すると9n^2, 9n^2+6n+1, 9n^2-6n+1で、3で割ると割り切れるか1余る。
aとbが共に3の倍数でないとき、a^2 ＋ b^2 = C^2の左辺は3で割ると2余るが、右辺は3の倍数か、3で割って1余るから等式が成立しない。

この回答へのお礼

回答有り難うございます。

問題の解説みたいな模範解答ですね！

参考になります

お礼日時：2023/11/10 15:37

No.6 回答者： 胸が大きいのが悩みなの。乳首は桜色だし。 回答日時： 2023/11/10 17:36

連続3整数は3の倍数。

aもbも3の倍数ではないとする。cが3の倍数ではないとするとa²-1+b²=c²-1が3の倍数なのでaは3の倍数。矛盾。したがってcは3の倍数。このときa²-1+b²-1=c²-2が3の倍数ではないのでa²-1かb²-1のどちらかは3の倍数ではない。矛盾。

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/11/10 16:23

modを使わずにというのは

3で割った余り
に関連する式は使用禁止という意味?

(3n+1)^2=3(3n^2+2n)+1だから1余るとかも駄目？

それは難しい。

この回答へのお礼

そうなんです。やっぱりMOD的な考えで解くしかないみたいですね。
最近なんでもMODでやっちゃう癖がついて、
すごい式変形とかで、できるのかなと思いまして、質問しました。

お礼日時：2023/11/10 21:25

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/11/10 15:20

3の倍数を基準にすると任意の自然数nは

　　　　n=3k, 3k±1
と表される。すると、
　　　　n²=3(3k²), 3(3k²±2k)+1
となり、 n²を3で割ると余りは 0,1 で、nが3の倍数でなけれ
ば、n²の余りは「1」のみである。

したがって、a,bが共に3の倍数でないと仮定すると、a²,b² の
余りは、共に1で、その和の余りは2となるが、c²の3の余りは、
0,1のみだから矛盾。つまり、a,bのいずれかが3の倍数。

さらに、a,bがともに3の倍数なら、a²+b²を3で割った余りは
0で、cも3の倍数になる。つまり、a,b,cは既約でなく、3で割
れば上の議論に戻る。

ゆえに、a,bのいずれかは3の倍数で、他方は3の倍数でない。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

基本的にはＭｏｄと同じような考えで解くわけですね。


この手の問題でよくある、
こんなの思いつかないでしょ因数分解
があるのかと思ってました

お礼日時：2023/11/10 15:36

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2023/11/10 15:03

[1] どんな整数tでも、t^2を3で割ったときの余りは0か1であり、余りが2になるということはない。

また、余りが0なのはtが3の倍数である場合に限る。
　なぜなら
　　t = 3s + r (r ∈{0,1,2})
と表せば
　　t^2 = (3s + r)^2 = 9s^2 + 6rs + r^2
これを3で割れば
　　(t^2)/3 = (3s^2 + 2rs) +(r^2)/3
そして(3s^2 + 2rs) は整数なので、
　　r = 0 のとき (r^2)/3 = 0 だから余りは0
　　r = 1 のとき (r^2)/3 = 1/3 だから余りは1
　　r = 2 のとき、(r^2)/3 = 4/3 = 1 + 1/3 だから余りは1

従って
[2] a, bが共に3の倍数でないとき、a^2を3で割った余りと、b^2を3で割った余りはどちらも1。
　だから（a^2 ＋ b^2）を3で割った余りは2。
　しかし（C^2）を3で割った余りが2になることはない。なので、
　　a^2 ＋ b^2 ≠ C^2

[3] ということは、
　　a^2 ＋ b^2 = C^2
が成り立つためには、「a, bが共に3の倍数ではない」ということはない（すなわち、a, bの少なくとも一方が3の倍数である）ということが必要。

　ま、modを使わないで書いた、というだけなんだけど。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
やっぱりＭｏｄ使うことになりますよね

お礼日時：2023/11/10 15:32

No.1 回答者： アルパチーノ 回答日時： 2023/11/10 14:41

家庭の煙探知機がしっかり養生して塞いでても虫駆除ガスを撒くと「火事です、火事です」と発報します。

ボタンを押して止めても暫くしたら鳴り出します。なぜでしょうか？
時間が経てば鳴り止みますか？

この回答へのお礼

回答有り難うございます。
濡らしたバスタオルなどをしっかり入れたまま養生すれば、検知器を躱せると思いますが、数学の質問してたんので、
そっちはそっちで頑張って下さい。

ちなみに卵で増えるタイプの害虫は一般的に卵には効果がないので、一定期間、間隔ををおいて駆除するとより効果的です。

ダニと昆虫（ノミなど）では薬剤が異なることが多いのでこちらもおすすめ気をつけて下さい

お礼日時：2023/11/10 15:09