統計的検定法について

統計を学び始めたばかりの素人です。
以下の問いについて解説をいただきたいです。

平均μが未知である正規分布N（μ,49）に従う49個の無作為標本を抽出し、帰無仮説H0:μ＝4、対立仮説H1:μ＞4として検定することを考える。この時、真の値をmとして次の問いに答えよ。

（1）有意水準を0.05とする。m＝6、m＝7とする時、それぞれについて第二種の誤りを犯す確率を求めよ。

（2）（1）において、有意水準が0.01の時、第二種の誤りを犯す確率を求めよ。
（3）対立仮説H1:μ＝5に対して、有意水準を0.05とする時、第二種の誤りを犯す確率を0.2以下にするには、標本サイズをどれくらいにすれば良いか。

（1）について、そもそもmとは何なのか、正規分布N（0,1）は標準正規分布表のどこを見れば1.645と導けるのか、（0,1）はどこからきた数字なのか…など初歩の段階でつまづいています。公式の様なものがあれば併せて教えていただけると助かります。
（2）（3）については、（1）がこんな状態なので完全にお手上げです。丸投げで申し訳ないのですが解説いただきたいです。
超基本的なものはさらったつもりですが、式に出てくる記号や数字の意味なども併せて教えていただけると大変助かります。

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2023/11/11 12:27

＞（1）について、そもそもmとは何なのか、

そこに書いてあるとおり未知の『真の母平均』です。
検定の対象となる μ は、あくまでその「推定値」です。

＞正規分布N（0,1）は標準正規分布表のどこを見れば1.645と導けるのか、（0,1）はどこからきた数字なのか…

意味不明ですが、そもそも「標準正規分布表」とは、現実のいろいろな正規分布を「平均 0、標準偏差 1」に規格化した正規分布です。つまり、標準正規分布そのものが N(0, 1^2) ということです。
標準正規分布の統計量 Z は、現実の正規分布 N(μ, σ^2) の統計変数 X から
　Z = (X - μ)/σ
の変換をしたものになります。

従って、「帰無仮説H0:μ＝4」の正規分布 N(4, 7^2) を標準正規分布に置き換えるには
　Z = (X - 4)/7
の変換をすればよいのです。

「1.645」というのは、「上側確率が 0.05 となる Z値」のことかと思います。
下記の「標準正規分布表」では「1.64 と 1.65 の間」としか読み取れませんので、統計ツールなり電卓やエクセルの統計関数を使って求めたのでしょうか。
↓
https://unit.aist.go.jp/mcml/rg-orgp/uncertainty …


(2)(3) については、正規分布の「確率分布」と、それを使った検定では、たとえば「有意水準 5%」のときには

・「0.95≦Z は起こり得ないとみなす」といったときには「5%の中にたまたま入った正しいものを間違いと判定することがある」（これを「第１種の過誤」「あわて者の誤り」などと呼ぶ）

・それを「Z≦0.95 なら起こり得るとみなす」といったときには「95%の中にたまたま入った間違ったものを正しいと判定することがある」（これを「第２種の過誤」「うっかり者の誤り」などと呼ぶ）

が起こり得ます。検定とはあくまで「統計的、確率的に判定する」ものですから。
有意水準を「2.5%」とか「1％」と厳しくすれば、第1種の過誤の確率は小さくなりますが、逆に第2種の過誤の確率が大きくなります。

↓
https://bellcurve.jp/statistics/course/9315.html

ここの図が分かりやすいかも、
↓
https://a-m-zyozo.hatenablog.com/entry/2020/09/1 …

(2)(3) は、こういったことを理解してから取り掛かった方がよさそうです。
たぶんテキストにも載っていると思います。

No.2 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/11/12 00:31

標本の分散が49ですから、標本の平均値の分散は、ｖ＝49／49、つまり平均値の標準偏差は１ですね。

これは計算が楽です。

仮説では、μ＝４だと思っているのですが、μの真値ｍが６の場合は山は２σ分離れています。
面倒でなければふた山の図を描いてみて下さい。

μ＝6の山からサンプリングされていれば、μ＝4なんていう仮説は（2σ外れているから）当然のごとく棄却されるでしょう。しかし、たまたま小さな値ばかり観測されたときに棄却できない場合が発生します。その確率（ぼんやり者の誤り＝見逃し率）を求めよという問題です。

有意水準が片側0.05なので、閾値は4＋1.65＝5.65です。
真値が６の山から見れば、5.65－6＝ー0.35
真値が７の山から見れば、5.65ー7＝ー1.35

つまり、真値が６の山のー0.35σより下側が第２種の過誤となります。その確率は正規分布表より両側確率で0.7263。その片方だから、0.363。
同様に、真値が７の山の－1.35σの両側確率は0.177。片側では、0.0885。

まあ、山が離れれば離れるほど、見逃しは少なくなりますね。

(2)(3)も同様に考えればできます。