微分方程式 ２階線形 標準形

わからない問題があるので教えて頂きたいです。
２回微分をy''、1回微分をy'とさせて頂きます。
y'' -4x y' +(4x^2 -18)y =e^(x^2)

この問題を、変数をxからtに変換して
最終的に両辺を（dt/dx）^2で割り、標準形に持ち込む方法で解こうとしているのですがうまく行かないです。
また変換後の特殊解も見つけられませんでした。

解ける方いましたらよろしくお願いします。

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2023/11/17 10:13

y = z e^(x^2)

とすれば
　　z'' - 16z = 1
なんだか如何にも「作った」問題だなあ。それはさておき

> 変数をxからtに変換して

そのtってのは何？

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/11/16 21:23

問題そのものは解かれちゃってるような気もするけど, それはさておき.

あなたは何をどのようにしようとして, どこで何にどう困っている
んだ? 具体的に書いてほしいね.

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/11/16 17:17

y"-4xy'+(4x^2-18)y=e^(x^2)

D=d/dxとすると
(D^2-4xD+4x^2-18)y=e^(x^2)
(D-2x-3√2)(D-2x+3√2)y=e^(x^2)
e^{x^2+3x√2}D(e^{-x^2-3x√2}{(D-2x+3√2)y})=e^(x^2)
D(e^{-x^2-3x√2}{(D-2x+3√2)y})=e^(-3x√2)
e^{-x^2-3x√2}{(D-2x+3√2)y}={(-√2)/6}e^(-3x√2)+C
(D-2x+3√2)y={(-√2)/6}e^(x^2)+Ce^{x^2+3x√2}
e^{x^2-3x√2}D(e^{-x^2+3x√2}y)={(-√2)/6}e^(x^2)+Ce^{x^2+3x√2}
D(e^{-x^2+3x√2}y)={(-√2)/6}e^{3x√2}+Ce^{6x√2}
e^{-x^2+3x√2}y=(-1/18)e^{3x√2}+Ae^{6x√2}+B
∴
y=(-1/18)e^{x^2}+Ae^{x^2+3x√2}+Be^{x^2-3x√2}