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No.3
- 回答日時:
(x+y)/2と(x-y)/2が共通因数を持つならば、x,yは共通因数を持つ。
この対偶は、x,yが互いに素ならば、(x+y)/2と(x-y)/2は互いに素。
なので、1行目を証明すれば良いわけ。
[以下1行目を証明]
x+yとxyが1より大きい公約数rをもつとすると
x+y=rp …①
x-y=rq …② (p,qは整数,rは2以上の素数)
とおける。
①よりy=rp-xを②に代入して
x-rp+x=rq
2x-rp=rq
x=r(p+q)
xはrを約数にもつ。
また、②よりy=x-rq=r(p+q)-rq=rp
∴yもrを約数にもつ。
よってx,yはともにrを約数にもつ。
これで、1行目の証明終わり。
この対偶を取れば質問文と同値になる。
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