もしも数学

もしも１＝１が正しくない数学の世界があったらどうなるんでしょうか

非ユークリッド幾何学で１＋１＝２も正しいか怪しくなったことがあるって聞いたことがあるので
気になりました

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/12/17 10:33

いろいろ異なる数学の体系を考えるのは、楽しいですね。

「１＋１＝２」なら、「＋」や「２」や「１」の定義を変えることで
この式が成り立たないような別の数学を作ることができます。
「１＝１」だと、構成部品が少なすぎて、「＝」の定義を変えざるを得ません。
我々が普段使っている「＝」は、任意の x に対して「x＝x」が成り立つ
ような記号ですから、「１」の定義を変えても「１＝１」は成り立ってしまう。
さて、「＝」の定義を変えて「１＝１」が成り立たないような数学を作った
として、その世界では、任意の x に対して「x＝x」は成り立ちません。
等式が普通の意味で使えなくなり、たいへん不便そうです。
そのような体系を目立った矛盾なく定義できたとしても、
それを使って数学を行うのは無理ゲーな気しかしません。

No.4 回答者： kmee 回答日時： 2023/12/17 12:33

整合性があれば、定義と公理からなんでもできるのが数学です。

中学高校あたりの数学は、それらのうち現実世界をよく表わしているような定義や公理(とそれから証明できる定理)を採用したものです。

「１＝１が正しくない」だけでは何も言えません。
「１＝１が正しくない」はと具体的にどんなことなのか、ちゃんと定義して公理を作れば、なんらかの「数学」を作ることは可能です。
それが有用かどうかは別の話です。

たとえば、 現在の数学で =記号を使って表わしている関係を ≠ 記号で、 ≠記号で表わしている関係を記号を = 記号で表わす、と「定義」して、他の定義や公理もそれに合わせた理論を作れば
「1 = 1 は正しくない」数学ができあがります。
(現在の数学の表記をすれば「1 ≠ 1は正しくない」となる)
表記を変えただけ、それ以外はこの世界と何も違いはありません。

No.2 回答者： Dendrocacalia 回答日時： 2023/12/17 03:30

ご質問の自明の理に反するかのような代数学は、すでに存在して「トロピカル代数」と呼ばれ、１＋１＝１とされます（2進法ではない）。

それだと１＝０になって困るだろうと思うのですが、加法の定義からして、普通のそれとは異なるようです。
アブストラクト・ナンセンス（抽象的すぎてもはや無意味）と感じるかもしれませんが、トロピカル代数はコンピュータの方面への応用が考えられているそうです。

No.1 回答者： mabuterol 回答日時： 2023/12/17 01:42

数学に限りませんが自然科学というのは多かれ少なかれ、◯◯が正しいのであれば、△△という命題が成り立つ、という事を積み重ねて体系を作っています。

数学の世界において、=という数学記号で結ばれた両辺が等しくないというように、その数学記号の意味を根底からくつがえしてしまうならば、数学の体系が根底から崩れてしまうので、もはや学問にはならないと思います。

1 = 1 の命題を疑う事と、1 + 1 = 2 の命題を疑う事はレベルが違うのですよ。+ という演算子記号が含まれていますから、演算の結果として左辺と右辺が等しいかどうか、というのは全く意味が異なる事です。