二次関数について質問です。 下に凸で、軸が直線x=aだったとします。定義域2≦x≦4において、最小値

二次関数について質問です。
下に凸で、軸が直線x=aだったとします。定義域2≦x≦4において、最小値の場合分けをする際、(ⅰ)4<a
(ii)2≦a≦4(iii)a<2と場合分けすると思いますが、
(i)4≦a(ii)2<a<4(iii)a≦2や(i)4≦a(ii)2≦a≦4(iii)a≦2などでもいいのでしょうか。

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/01/11 12:36

どういう意味で「いいのでしょうか」によって話は違ってくる。

数学的に...という意味では、答えが同値なら何でもかまわなくて、
(i)4<a (ii)2≦a≦4 (iii)a<2 でも
(i)4≦a (ii)2<a<4 (iii)a≦2 でも
(i)4≦a (ii)2≦a≦4 (iii)a≦2 でも全く同じ答えだ。

各場合内の記述が境界をどちら側にくっつけとくと簡潔になるか
は最初からは見通せないことも多いので、
まず (i’)4<a (ii’)2<a<4 (iii’)a<2 の場合を記述してみてから
a=4,2 の場合をどっちにくっつけとけば体裁が良いかを後で検討したらいい。

場合分けした答えを後で他の考察に使うことを考えたら、
可能なら極力 (i)4≦a (ii)2≦a≦4 (iii)a≦2 のスタイルがよいとは感じる。
問題によっては、そうできるとも限らないけど。

学校のテストの答案に...という話だと、教師の生態という嫌な因子が絡んできて、
場合が重複するのは主観的な理由で減点をくらうリスクがある。
(i)4<a (ii)2≦a≦4 (iii)a<2 や
(i)4≦a (ii)2<a<4 (iii)a≦2 すらやや危険で、
(i)a<2 (ii)2≦a<4 (iii)a≧4 か
(i)a≦2 (ii)2<a≦4 (iii)a>4 にしとくのが無難。

採点される場面では、採点する人の能力に合わせた答案を書くことが大切だから。

No.4 回答者： AっKI 回答日時： 2024/01/10 15:05

a=2やa=4の場合を考えてみるといい。

a=2はどの場合においても(i)(ii)のどちらでもなりたつはずだ
（どちらの結果にa=2を入れても同じ最小値が得られるということ）
a=4の場合も同じくどのパターンにおいても(ii)(iii)のいずれでもなりたつ。

つまり、等号はどちらにあってもよい。
極端な話、「両方に入っていても間違いではない」。
ただし、両方に入っているのを嫌う人もいるので
片側だけに入れておくのが通例。
しかし『両方ともないのだけはアウト』。それ以外ならＯＫ。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/01/10 07:56

必要な場合が網羅されていれば重複はどうでも良いです。

好みは3個目かな。
境界で値が一致していることを確かめるとミスを減らせます。

No.2 回答者： hectopascal 回答日時： 2024/01/10 01:56

下に凸な二次関数の軸が直線 ( x=a ) であり、定義域が ( 2 \leq x \leq 4 ) の場合、最小値の場合分けについてご質問いただいていますね。

この場合分けにはいくつかのやり方がありますが、基本的には ( x=a ) が定義域の内側にあるか外側にあるかで場合分けすることが一般的です。
( 2 \leq a \leq 4 ) の範囲において、最小値の場合分けをする場合、以下のように考えることができます。
(i) ( 4 < a )
(ii) ( 2 \leq a \leq 4 )
(iii) ( a < 2 )
この場合、( a ) の大小によって場合分けをすることが一般的です。したがって、(i) ( 4 \leq a )、(ii) ( 2 < a < 4 )、(iii) ( a \leq 2 ) というように表現することができます。
ただし、( a ) の大小関係によって必ずしもこうでなければならないという厳密なルールはなく、状況に応じて他の表現方法でも問題ありません。場合分けの方法は厳密に定まっているわけではないため、数学的な文脈や解きやすさに合わせて適切な表現方法を選ぶことができます。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2024/01/09 23:19

等号をどこに入れるか、ということ？

どこでもいいんですよ。
単に「どう分けるか」だけの問題ですから。

厳密に「重複しないように分ける」のであれば
「(i)4≦a(ii)2≦a≦4(iii)a≦2」
は「a=2, 4 のときには両方に含まれる」ことになるのでそれを理解してそうする必要があります。

別に、重複しても「きちんと頭の中で整理できている」ならば問題ありません。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2024/01/10 00:03