数学Aの問題です。 答えは、左の皿に4gの分銅を5こ、右の皿に11gの分銅を1こです。解説お願いしま

数学Aの問題です。
答えは、左の皿に4gの分銅を5こ、右の皿に11gの分銅を1こです。解説お願いします！

No.5 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/02/09 19:06

＞ グラフを書く以外方法はないですか？

式だけでも計算できる。
整数 k に対する |a| + |b| = |-11k-6| + |4k+3| の最小値を求めよう。
11k+6 と 4k+3 の正負で場合分けすると右辺の絶対値記号が外れる。

11k+6 ≧ 0 かつ 4k+3 ≧ 0 のとき、すなわち
k が k ≧ -11/6 を満たす整数 k ≧ 0 のとき、
|a| + |b| = (11k+6) + (4k+3) = 15k+9 ≧ 15・0+9 = 9.

11k+6 < 0 かつ 4k+3 ≧ 0 のとき、すなわち
k が -3/4 ≦ k < -11/6 を満たす整数のとき...
いや、そんな整数 k は存在しない。

11k+6 < 0 かつ 4k+3 < 0 のとき、すなわち
k が k < -3/4 を満たす整数 k ≦ -１ のとき、
|a| + |b| = -(11k+6) + -(4k+3) = -15k-9 ≧ -15・(-1)-9 = 6.

以上より、|a| + |b| が最小になるのは、k = -1 のときの
a = 5, b = -1, |a| + |b| = 6 である。

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/02/09 19:27

11を4で割った商は2余りは3だから

11=4×2+3
↓両辺から4×2を引くと
11-4×2=3
↓両辺に3をかけると
(11-4×2)×3=3×3
11×3-4×2×3=9
11×3-4×6=9
11×3+4(-6)=9
11×3+11(-4k)+4(11k)+4(-6)=9
11(3-4k)+4(11k-6)=9
11(-4k+3)+4(11k-6)=9…(1)

11gの分銅|-4k+3|個
4gの分銅|11k-6|個
分銅の個数を
f(k)=|-4k+3|+|11k-6|
とすると

k≦0のとき
0<3-4k
11k-6<0

f(k)=3-4k+6-11k=9-15k≧9

k≧1のとき
3-4k<0
11k-6>0

f(k)=4k-3+11k-6=15k-9≧6
だから
k=1のときf(k)は最小値6となるから
k=1
↓これを(1)に代入すると
11(-4+3)+4(11-6)=9
11(-1)+4×5=9
4×5=9+11
だから
左の皿に4gの分銅を5個
右の皿に11gの分銅を1個

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/02/09 16:54

11=4*2+3

11-4*2=3
↓両辺に3をかけると
11*3-4*6=9
11(-4k+3)+4(11k-6)=9

11gの分銅|-4k+3|個
4gの分銅|11k-6|個
分銅の個数を
f(k)=|-4k+3|+|11k-6|
とすると

k≦0のとき
0<3-4k
11k-6<0

f(k)=3-4k+6-11k=9-15k≧9

k≧1のとき
3-4k<0
11k-6>0

f(k)=4k-3+11k-6=15k-9≧6
だから
k=1のときf(k)は最小値6となるから
k=1

11(-1)+4*5=9
4*5=9+11
だから
左の皿に4gの分銅を5個
右の皿に11gの分銅を1個

この回答へのお礼

11=4*2+3
初めの式からわかりません。＊はなんですか？

お礼日時：2024/02/09 18:23

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/02/09 14:40

天秤秤の左皿に分銅を n 個のせることを +n 個、

X と同じ右皿に分銅を n 個のせることを -n 個と表現すれば、
4g の分銅を a 個、11g の分銅を b 個のせて釣り合ったとき
4a + 11b = 9 が成り立ちます。
これを満たす (a,b) のうち、|a| + |b| が最小になる組
を求めよという問題です。

等式の両辺を 4 で割った余りを考えれば、
4a + 11b = 4(a + 2b) + 3b より
(3b を 4 で割った余り) = 1 となります。
b を 4 で割った余り → 3b を 4 で割った余り
0 → 0
1 → 3
2 → 2
3 → 1
の関係がありますから、b を 4 で割ったあまりは 3 です。
そこで b = 4k + 3 と置くと、
もとの等式へ代入して a = -11k - ６ になります。

|a| + |b| = |-11k-6| + |4k+3| が最小になるような k は何でしょうか？
実数 x に対する y = |-11x-6| + |4x+3| のグラフを書いてみると、
これは x = -3/4 と x = -6/11 に頂点を持つ折れ線です。
x = -6/11 ≒ -0.5 の頂点が最小値になりますから、
整数 k で |a| + |b| が最小になるのは、k = -1 か k = 0 のとき。
k = -1 のとき (a,b) = (5,-1)、
k = 0 のとき (a,b) = (-6,3) なので、比較すれば
k = -1 のときの |a| + |b| = 6 が最小と判ります。

(a,b) = (5,-1) ですから、求めるべき分銅ののせ方は、
4g の分銅を左の皿に 5個、11ｇ の分銅を右の皿に 1個です。

この回答へのお礼

グラフの前までわかりました。グラフを書く以外方法はないですか？

お礼日時：2024/02/09 18:26

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2024/02/09 13:52

計算で求めると NO1 さんの様になりますが。

問題文を読めば、11g+9g=20g ですから、
20g=4gx5 と 計算する前に 答えが出ますね。
逆に その答えになるように 式を作る？

No.1 回答者： sc348253 回答日時： 2024/02/09 11:25

4は偶数

11は奇数
9も奇数だから

4の分銅の数をx
11の分銅の数をy
とおけば

11を左に置いた場合は
4x(1)+11y=9+4x(2)
y=1 は不適
y=3 は　24=4(x(2)-x(1)) で一番少ないのは　6=7-1
よって　4*7+11*3=9+4*1

11を右に置いた場合は
4x=11y+9
y=1 のとき　x=5
以下yの値が大きくなれば分銅の数も増えていくので

以上より　答えは、左の皿に4gの分銅を5こ、右の皿に11gの分銅を1こです。

この回答へのお礼

4x(1)+11y=9+4x(2)
この式はどう言う意味ですか？

お礼日時：2024/02/09 18:22