力学 重心に関する問題です。疑問点が3つあります。
問題
小物体が放された後、はじめて台に対して停止するまでの間、床に対する台の変位の向きと大きさを表す式は?
なのですが、
解説には
水平方向の外力はないので、全体の重心は静止し、台と小物体は 2R だけずれる。運動量保存則より、重心から見た移動距離(速度)は質量と反比例するので、台の変位は左向きにm×2R/(m+M) = 2mR/(m+M)
と書いてました。
疑問点
①なんで2R
②なぜ左向き?
③なぜ反比例するのか?
できれば微積はなしでお願いいたします。
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
>台と小物体は 2R だけずれる。
何がずれるのか書いてないけど、重心位置の差のことなんでしょうね。
それと、摩擦と空気抵抗が無いというのは、台と床間、小物体と台間
の全てなんだろうか? 書き方が微妙なんで困ります。
全て無いとして小物体が一度降りて反対側を駆け上って再び
同じ高さまで駆け上ることを前提にして解く問題とは思いますが
運動量とエネルギー保存の縛りで、小物体が一度台にエネルギーを渡して、
そのエネルギーが全て戻ってくることを厳密に示さないと
いけない気がします。
気にしないで解いちゃうこともできるけど、寝覚め悪そう。
No.2
- 回答日時:
No.1 です。
ちょっと補足します。
「水平方向」だけに限定すれば、外力が働かないので「運動量」が保存し、
小物体の水平方向の速度を v、台の水平方向の速度を V (いずれも右向きを正)とすれば
mv + MV = 0
ですから
mv = -MV ①
となります。
もしこれが
mv = -MV = k (一定値)
ということであれば「速度は質量に反比例する」といえますが、①は一定でなく変化しています。その和がゼロになるということです。
従って、①の関係は
|v/V| = M/m
「相互の水平方向の速さの比は、質量の比の逆数になる」
とでもいうべきなのでしょう。
「移動量」はそれに時間をかけたもの(正確にいうと時間で積分したもの)なので
「水平方向の移動量の比は、質量の比の逆数になる」
ということになります。
一種の「てこの原理」みたいなものです。
No.1
- 回答日時:
>①なんで2R
ロスがないので力学的エネルギーが保存されれば、円形斜面の「左端」で放した小物体は「円の右端」まで行きますよね?
そのときの水平方向の移動量は 2R になるでしょ?
>②なぜ左向き?
小物体が右向きに進んで、台と小物体の全体の重心が動かないなら、台は左に移動しないといけないよね?
>③なぜ反比例するのか?
軽いものほど動きやすい、重いものほど動きにくいでしょ?
ただ、解説の「移動距離(速度)は質量と反比例する」は間違いで、「加速度が質量と反比例する」ということです。
運動方程式
F = ma
から、「同じ力なら、質量と加速度は反比例する」ということです。
「作用反作用の法則」で、小物体が台を押せば、台も同じ力で小物体を押し返しますから、働く力は逆向きに同じ大きさです。
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