物理についてです！ Ma=物体aの質量,M b=物体bの質量 Va=物体aの速度,Vb=物体bの速度

物理についてです！
Ma=物体aの質量,M b=物体bの質量
Va=物体aの速度,Vb=物体bの速度とする。(これはあまり関係ないかも)
このとき、
①: MaV=MaVa+MbVb
②: MaV²=MaVa²+MbVb²
この2つの式からVaとVbをMa, Mb, Vを用いて表したいのですが、どうしても連立方程式が解けません！(式自体はこれであってます)
どなたか連立の途中式及び答えを教えて頂けないでしょうかm(_ _)m

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/01/22 08:35

別解としてはこんなのもあります。

Vg=MaV/[Ma+Mb)で(重心の速度で)右にすすむ座標系で考えると
衝突前の速度は
Va′=MbⅤ/(Ma+Mb)
Vb′=-MaV/(Ma+Mb)
衝突後の速度は運動量保存と工ネルギー保存から
直ちに
Va′'=-MbⅤ/(Ma+Mb)
Vb′'=MaV/(Ma+Mb)
これを元の座標系に戻すと終わり。
2次方程式を解かず、直感的に求まるのが
利点です。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2018/01/21 23:28

No.1です。

#2さん＞＞
>展開して移項すれば
以下の式ですが。V*Vaの項がないような気がするのですが。(V-Va)^2をV^2-Va^2と勘違いしていませんか。

確かに、計算違いをしていましたね。
もし、質問者さんに No.1 回答が混乱を与えていたとしたら申し訳ありません。

下記のとおり、お詫びして訂正します。

＊＊＊＊＊＊＊訂正＊＊＊＊＊＊＊

①から
　Va = V - (Mb/Ma)Vb　　③
として、これを②に代入すれば Va が消えて、Vb についての式が書けます。

やってみれば
　MaV² = Ma[ V - (Mb/Ma)Vb ]² + MbVb²
　　　　= MaV² - 2MbVVb + (Mb²/Ma)Vb² + MbVb²
移項して整理すると
　0 = - 2VVb + [ (Mb/Ma) + 1 ]Vb²
→　Vb[ Vb(Ma + Mb)/Ma - 2V ] = 0
よって
　Vb=0　または　Vb= 2MaV/(Ma + Mb)

③より
　Va=V　または　Va= V - 2MbV/(Ma + Mb) = (Ma - Mb)V/(Ma + Mb)

つまり
　Va=V, Vb=0
または
　Va=(Ma - Mb)V/(Ma + Mb), Vb=2MaV/(Ma + Mb)
です。

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

No.2 回答者： rnakamra 回答日時： 2018/01/21 15:22

基本的な方針としては#1の方のように①を使いVaもしくはVbを他の文字を使い表し②に代入することになります。

今回の場合、Vaを消去した方が楽だとは思います。
なぜかというと、Va,Vbどちらを消去した場合でも2次方程式が得られるのですが、実はこの2次方程式の一つの解は解くまでもなく明らかなのです。
Vaを消去した場合、Vbの二次方程式の解の一つは"0"です。
Vbを消去した場合、Vaの二次方程式の解の一つは"V"です。
なぜかというと、もとの連立方程式の解の一つは明らかに(Va,Vb)=(V,0)だからです。
(元の方程式の左辺は右辺に上記の値を入れたものであるのは明白です)

二次方程式の一つの解が明らかに"0"であれば因数分解は簡単です。(因数分解せずとも解と係数の関係から簡単にもう一つの解が得られます)


追記
>#1さん

>展開して移項すれば
以下の式ですが。V*Vaの項がないような気がするのですが。(V-Va)^2をV^2-Va^2と勘違いしていませんか。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2018/01/21 13:44

①は「運動量」の式です。

②は、両辺を (1/2) 倍すればわかるように「エネルギー」の式です。
感じとして、この解は極めて「特殊」なものになりそうです。

「未知数が Ma, Va, Mb, Vb, V の5個」に対して「方程式は2つ」ですから、未知数を１つ減らして「VaとVbをMa, Mb, Vを用いて表わす」ことができます。

当然の前提として、Ma≠0、Mb≠0 と考えます。

①から
　Vb = (V - Va)Ma/Mb　　②
として、これを②に代入すれば Vb が消えて、Va についての式が書けます。

やってみれば
　MaV² = MaVa² + Mb[ (V - Va)Ma/Mb ]²
　　　　= MaVa² + (V - Va)²Ma²/Mb
展開して移項すれば
　MaVa² - Va²Ma²/Mb = MaV² - V²Ma²/Mb
→　(Ma - Ma²/Mb)Va² = (Ma - Ma²/Mb)V²

(a) Ma ≠ Mb であれば Va = V

②より
　Vb = 0

(b) Ma = Mb であれば、元の式は
①: MaV = MaVa + MbVb = Ma(Va + Vb)
②: MaV²=MaVa²+MbVb² = Ma(Va² + Vb²)
ですから、
　V = Va + Vb
　V²= Va² + Vb²
ということになり
　V² = (Va + Vb)² = Va² + 2VaVb + Vb²
ですから、
　VaVb = 0
で Va=0 または Vb=0 ということになります。

Va=0 なら Vb=V
Vb=0 なら Va=V
ということです。


①から
　Va = V - (Mb/Ma)Vb　　③
として、これを②に代入して Va を消去し、Vb についての式を書いても同じ結果です。

この回答へのお礼

回答ありがとうございますm(_ _)m
この問題、実はマーク式で答えの候補が
① 0　② MaV/Ma+Mb
③ MbV/Ma+Mb ④ 2MaV/Ma+Mb
⑤ 2MbV/Ma+Mb
⑥ (Ma-Mb)V/Ma+Mb
のうちのどれかから当てはまるものを選ぶのですが、自分が作った式自体が合ってるか分からなくなってきました…
自分の質問一覧にその問題を載せているので、見ていただけると幸いです

お礼日時：2018/01/21 14:20