下記の問題について、「5は素数なので、2個以上の整数の積ではないので、整数aは一種類の因数nだけ」の

下記の問題について、「5は素数なので、2個以上の整数の積ではないので、整数aは一種類の因数nだけ」の意味がよく分からなかったので、詳しく教えてほしいです。


問題
2ケタの整数aの約数は、1およびaとそのほかに3個で，合計5個ある。このaを3倍して3aとしたところ，約数は3aだけが増え、合計6個となった。この2ケタの整数aの十の位と一の位の数の差として，正しいものはどれか。
解説
整数aの約数は全部で5個あるが、5は素数なので、2個以上の整数の積ではないので，整数aは1種類の因数nだけでできており，a=n^4と表される。aは2ケタの整数なので，n=2または3である。
答え
7

よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• 皆様ありがとうございます。
  
  指数+1の積が約数の個数。
  この結果が素数なら、例えば5なら、5×1か1×5しかない。
  a=n^4×m^0の時、(4+1)(0+1)=5となる。
  b^0は1だから、実質的にa=n^4しかない。
  ということですか！

    補足日時：2024/03/27 21:28

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/03/28 09:05

> a=n^4と表される。

aは2ケタの整数なので，n=2または3。
これで解けるんだけど

素因数分解
a = p^4 (p: 素数)
だと、3aの素因数分解は
3a = 3・p^4

だから 3 ≠ p だと 約数の数は 10個になる(6個にはならない)。

つまり p=3 以外選択肢はないです。

No.5 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/03/28 02:09

a が 3 の倍数でないなら, 3a の約数の個数は a の約数の個数の 2倍になる. つまり「a の約数が 5個で 3a の約数が 6個」である以上 a は必ず 3 の倍数でなければならない.

あるいは, a が 3 の倍数でないとすると, 3a の約数として必ず「3」が増える. これと「約数は3aだけが増え」を組合せると
a は 1 または 3 の倍数
であることがわかる.

いずれにしても a=2^4 は不適.

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/03/27 22:50

う～ん.

「2^4,3^4・・・と吟味していって選択肢と照らし合わせる」んだったら「5は素数なので、2個以上の整数の積ではないので、整数aは一種類の因数nだけ」の意味なんぞわからずとも解けてしまうのだが....

「5は素数なので、2個以上の整数の積ではないので、整数aは一種類の因数nだけ」の意味を理解したなら, さらにその先の「このaを3倍して3aとしたところ，約数は3aだけが増え、合計6個となった。」にも応用してほしいのだ.

この回答へのお礼

a=n^4と表される。aは2ケタの整数なので，n=2または3。
↓
ここですぐにn=3や答え7が導き出せるということでしょうか？


言葉足らずだったかもしれません。私のプロセスは、
a=n^4と表される。aは2ケタの整数なので，n=2または3。
↓
n=2のとき、16を3倍すると48は約数が10個だから違う
↓
n=3のとき、81を3倍すると243は約数が6個だから題意に合ってる
↓
8-1=7
みたいな流れをイメージしていました！

お礼日時：2024/03/27 23:56

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/03/27 21:59

そういうこと.

ところで, その続きは大丈夫だよね?

この回答へのお礼

続きは2^4,3^4・・・と吟味していって選択肢と照らし合わせるので大丈夫そうです！
ありがとうございます！

お礼日時：2024/03/27 22:03

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/03/27 21:02

素因数の値が複数あると、約数の数が合成数になる

例えばa=p^m・q^n (p≠qでm>0、n>0)なら約数の数=(p+1)(q+1)
よって
a=p^4 (pは素数)

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/03/27 20:19

一般に正整数 n が

n = p1^e1 p2^e2 ... pk^ek
(p1, p2, ..., pk は全て異なる素数で e1, ..., ek は非負整数)
と書けるとき, その約数の個数は
(e1+1)(e2+1)...(ek+1)
なのだ.