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数学・数的処理の問題が分かりません。教えて頂きたいです。
3桁から6桁までの自然数で8である位はちょうど3つで他の位は全て0(8088みたいな)という条件を満たす全ての数の平均値の1の位はいくらか
宜しくお願い致します。

gooドクター

A 回答 (4件)

条件を満たす3桁の自然数は888ですが、これを000888と表示することにします。

4桁、5桁の自然数についても同様に表示することとします。すると、条件に合う自然数は、一、十、百、千、一万、十万の位より3つの位を選んでその位の数字を8にすればよいので、総数は ₆C₃=20(個)です。

この20個の自然数のうち1の位の数字が8である自然数は他の2つの位の数字が8なので、残りの5つの位より2つを選んでその位の数字を8にすればよいので、総数は ₅C₂=10(個)です。よって、残りの10個の自然数の1の位の数字は0です。同様に考えると、どの位についても、その位の数字が8である自然数と0である自然数はそれぞれ10個ということになります。

この20個の数字の合計を求めるときに、各位ごとの合計を求めてからそれを集計します。十万の位の合計は800000が10個あるので、800000×10=8000000 となり桁数が1つ上がります。他の位についても同様なので、この20個の自然数の合計は、8000000+800000+…+80=8888880

これより、平均値は 8888880÷20=444444
したがって、1の位の数字は4です。
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一つづつ 数えても たいして手間にはならないと思いますよ。


3桁 : 888. ; 4桁 : 8880, 8808, 8088 。
5桁 : 88800, 88080, 88008, 80088, 80808, 80880,
6桁 ; 888000, 880008, 880080, 880800, 808800, 808008,
808080, 800880, 800808, 800088
以上 全部で 20通り、1位の数字は、0 が 10通り、8 が 10通り。
つまり 1位の平均は (8x10)/20=4 で、答え 4 。
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そのように 8 と 0 が並んだ数のうち、


1 の位の数字が 8 であるものは、残り 2 個の 8 の位置を考えると 5C2 個あります。
1 の位の数字が 0 であるものは、3 個の 8 の位置を考えると 5C3 個です。
10 の位以上の数字の並びは平均値の 1 の位に影響しないので、
{ 8(5C2) + 0(5C3) }/{ 5C2 + 5C3 }
= { 8×10 }/{ 10 + 10 } = 4 を計算すればいい。
答えは 4 です。
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「条件を満たす全ての数の平均値」を計算しようとすると大変そう。

けれども、「平均値の1の位」だけなら、「条件を満たす数」の1桁目が”8”のものの個数と”0”のものの個数の比率がわかれば十分です。

[1] まずは、「条件を満たす自然数」をどれも6文字で表記する(例えば888なら”000888”と表す)ことにする。なので問題の条件は「”0”を3個と”8”を3個並べてできる数」ということと同じ。(なぜなら、こうやって作れる数はどれも「3桁から6桁までの自然数で8である位はちょうど3つで他の位は全て0」になっていて、しかも他には「3桁から6桁までの自然数で8である位はちょうど3つで他の位は全て0」となる数はない。)

[2] 「条件を満たす自然数」n をひとつ選んで、その6文字による表記を考える。この表記の”0”を”8”に、”8”を”0”に書き換えたもの(例えば”080088”なら”808800”に書き換える)も、やはり「条件を満たす自然数」mの6文字による表記になっていて、しかも(nとmはどの桁も異なるから)n≠mである。

[3] つまり、「条件を満たす自然数」のうち、1桁目が”8”であるものと”0”であるものは、丁度同数ある。

[4] というわけで、平均値の1桁目は8/2 = 4。
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