確率変数X1,X2が独立の分布に従いE(Xi)=μ,V(Xi)=σ*2,
(i=1,2)について
1)Z=c1X1 + c2X2の平均と分散を求めよ。C1,c2は定数とする。
2)c1,c2の間にどのような関係がある時にZは普遍推量になるか。
3)Zの分散の最小値を求めよ。
この3題について正規分布についての問題だということはわかるのですが1)からこのような形式の問題はあたったことがないので解法がさっぱりわかりません。ちなみに「実用統計学演習」で演習をしていますが似たような問題ものっていませんでした。解法のヒント、手順等そしてこの問題の難易度をご指導いただけないでしょうか?
よろしくお願いいたします。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
問題の意味がよくわからないので、勝手に憶測してみます。
1)No.1様の回答の通りです。
分散は次のような演算で求められます。
(1) 公式 V(X) = E(X^2) - {E(X)}^2
(2) 公式 C(X1,X2) = E(X1 X2) - E(X1)E(X2)
C(X1,X2)はX1とX2の共分散。X1とX2が独立ならば、C(X1,X2) = 0
(3) V(c1 X1 + c2 X2) = E((c1 X1 + c2 X2)^2) - {E(c1 X1 + c2 X2)}^2
= c1^2 E(X1^2) + c2^2 E(X2^2) + 2 c1 c2 E(X1 X2) - c1^2{E(X1)}^2 - c2^2 {E(X2)}^2 - 2 c1 c2 E(X1) E(X2)
= c1^2 V(X1) + c2^2 V(X2) + 2 c1 c2 E(X1 X2) - 2 c1 c2 E(X1) E(X2)
= c1^2 V(X1) + c2^2 V(X2) + 2 c1 c2 C(X1,X2)
2)普遍推量というのが「平均値不偏推定量」の意味だと勝手に解釈。
さらに、この問題では、
『平均μ, 分散σ^2 の確率変数Xから2つの標本X1, X2を取り出し、Z = c1 X1 + c2 X2 でXの平均値を推定する』と勝手に解釈します。
すると、Xの平均値とZの平均値が一致すればZはXの「平均値不偏推定量」ですから
c1 + c2 = 1
3)分散は(c1^2 + c2^2)σ^2 ですから、c1 + c2 = 1 という拘束条件の下でc1^2 + c2^2の最小値を求めればよいということになります。(c1 = 1 - c2 を代入すれば簡単)
問題の意図が異なる場合は、元の問題の文脈と比較して補足をお願いします。
早速のご指導ありがとうございます。とっつきにくい問題ですが丁寧なご解答をしていただきとても参考になりました。解答がないのですがこの解き方で納得できました。まだまだ自分の知識が不足しているのを痛感いたしました。今後練習をつんでいこうと思います。本当にありがとうございました。
No.1
- 回答日時:
まず、σの二乗は普通σ^2とかきます。
*は掛け算の意味です。それから、独立の分布にしたがっているってことは、μはX1とX2で異なると考えていいですか?それから一概に正規分布の問題ともいえない気がします。1)の平均は期待値の性質
E(X+Y)=E(X)+E(Y), E(aX)=aE(X)
を使えば平均はc1μ1+c2μ2だとおもいます。分散は「誤差伝播の法則」というのがあります(John R Taylor 計測における誤差解析などが入門的な参考書)。これをおもちいるとσ^2(Z)=(c1*σ(1))^2 + (c2*σ(2))^2だとおもいます。
2)について、不偏推定量というのは
E(θの推定量)=θ
となるようなθの推定量をいいます。なのでE(Z)とE(σ^2(Z))について考えばよいわけですが、ちょっといま考えても自身がないのでやめておきます・・・
3)については2)が分からないとだめなんでしょうね、c1とc2の関係から求めることができるんだと思います。すんません、中途半端で・・・
早速のご指導ありがとうございます。とっつきにくい問題ですが丁寧なご解答をしていただきとても参考になりました。二乗=^というのも勘違いしていました。ご指摘ありがとうございます。まだまだ自分の知識が不足しているのを痛感いたしました。今後練習をつんでいこうと思います。本当にありがとうございました。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 以下の数学の問題を教えてください。 確率変数Xは標準正規分布N(0、1)に確率変数Yは平均3のポアソ 3 2022/12/02 19:13
- 統計学 統計検定2級の過去問について 1 2023/01/04 16:40
- 統計学 確率統計の問題です。 6 2022/07/26 23:23
- 統計学 統計学の問題です。教えてください(_ _) 数万人の有権者がいる選挙区で, 無作為に400人の標本を 2 2023/02/03 15:27
- 統計学 こんな問題を使って教育するのは、文科省の方針ですか。 3 2022/06/17 09:14
- 統計学 統計学の問題 2 2022/07/24 19:57
- 統計学 確率統計の問題です。 3 2022/04/07 04:39
- 経済学 今期の消費量をC1、来期の消費量をC2、消費者の効用関数をu=5 (C1)^6(C2)^4とする。 2 2023/01/29 10:07
- 数学 高校の数学Bの、確率分布と統計的な推測の、 正規分布の問題でわからない箇所がございます。問題文が、 2 2022/03/27 20:57
- 統計学 t統計量とF統計量について 9 2023/01/05 14:23
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
統計学における有効数字につい...
-
標本分散の合併について
-
統計学の問題の解き方について...
-
標本の標準偏差・・なんで分母...
-
母分散と標本分散
-
統計(自由度n-1)について
-
標本分散が母分散より少し小さ...
-
自由度について
-
分散の公式で・・
-
標本分散と不偏分散
-
標準偏差のstdevは自由度から1...
-
全統高2模試で数学が200点満点...
-
標準偏差バーをグラフに入れた...
-
標準偏差
-
ランダム出力の数値をコントロ...
-
今日数学のテストが返ってきて ...
-
数学の偏差値はどれくらいあれ...
-
偏差値60の人と偏差値50の人が...
-
社会人の偏差値の調べ方
-
K回同期加算すると、雑音が1/K...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
おすすめ情報