数Ⅰの問題について教えてください 2番の問題の最後の行なのですが、(b+3c)^2は左二つの項から(

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質問者：rdenya
質問日時：2024/05/09 18:12
回答数：6件

数Ⅰの問題について教えてください
2番の問題の最後の行なのですが、(b+3c)^2は左二つの項から(b-3c)^2は右二つの項から参照しているとおもいますがなぜそうなるかがわかりません。教えて下さい

ありものがたりさん
回答ありがとうございます
式の右半分の右辺が(b-3c)になる過程がわかりません。
ご確認いただけますと幸いです
(a-b+3c)^3 + (a+b-3c) = 2(a^3 + 3a(b-3c)^2)

補足日時：2024/05/09 19:06
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左辺　(a-b+3c)^3 + (a+b-3c) ^3

補足日時：2024/05/09 19:07
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回答 (6件)

No.1

回答者：ありものがたり
回答日時：2024/05/09 18:55

B = b+3c と置くと、a+b+3c = a+B, a-b-3c = a-B ですよね。

(a+b+3c)^3 + (a-b-3c) = (a+B)^3 + (a-B)^3 と書けるので、
画像中央で作ってみた公式
(A+B)^3 + (A-B)^3 = 2(A^3 + 3AB^2) が使えて、
(a+b+3c)^3 + (a-b-3c) = (a+B)^3 + (a-B)^3
　　　　　　　　　　= 2(a^3 + 3aB^2)
　　　　　　　　　　= 2(a^3 + 3a(b+3c)^2)　になります。
式の右半分についても同様に
(a-b+3c)^3 + (a+b-3c) = 2(a^3 + 3a(b-3c)^2)　です。
これらを合わせると
与式 = 2(a^3 + 3a(b+3c)^2) - 2(a^3 + 3a(b-3c)^2)
になるところまでが、画像の式変形です。

この先、右辺を展開して
与式 = 2a^3 + 6a(b+3c)^2 - 2a^3 - 6a(b-3c)^2
　　= 6a(b+3c)^2 - 6a(b-3c)^2
　　= 6a( (b+3c)^2 - 6a(b-3c)^2 )
　　= 6a( (b+3c) + (b-3c) )( (b+3c) - (b-3c) )
　　= 6a(2b)(6c)
　　= 72abc　ですね。

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No.2

回答者：ありものがたり
回答日時：2024/05/09 19:13

「同様に」で済まないですか？

β = b-3c と置くと、
(a-b+3c)^3 + (a+b-3c)^3 = (a-β)^3 + (a+β)^3
　　　　　　　　　　　= 2(a^3 + 3aβ^2)　　　←ここ、例の「公式」より
　　　　　　　　　　　= 2(a^3 + 3a(b-3c)^2)　です。

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No.3ベストアンサー

回答者： yhr2
回答日時：2024/05/09 20:45

横から失礼。

１行目で、あなたが「赤」「青」で囲ったところの「くくり方」が正しく見えていないみたいですね。

「青」のところは

(a - b + 3c)^3 = [a - (b - 3c)]^3
(a + b - 3c)^3 = [a + (b - 3c)]^3

ですよね？

これに２行目～４行目の結果から
　A = a
　B = b - 3c
を代入しているだけ。

ちなみに「赤」の方は
　(a + b + 3c)^3 - (b + 3c - a)^3
なので、幻惑されずに
　(a + b + 3c)^3 - (b + 3c - a)^3
= [a + (b + 3c)]^3 - [(b + 3c) - a]^3
= [a + (b + 3c)]^3 + [a - (b + 3c)]^3
とくくれているようですね。