デジタル信号処理の問題です。どのように式を変形すれば良いのでしょうか。やり方を教えてください [4]

デジタル信号処理の問題です。どのように式を変形すれば良いのでしょうか。やり方を教えてください
[4] Answer the following questions about the rational function X(z) in the z-transformed domain.

X(z) = (5+1.1z^(−1)−0.5z^(−2) −0.2z^(−3))/( 1−0.1z^(−1) −0.2z^(−2))

⁡(Q1) Transform X(z) as follows
X(z) =(5+1.1z^(−1)−0.5z^(−2) −0.2z^(−3))/( 1−0.1z^(−1) −0.2z^−2)
＝a+bz^(−1)+ (c+dz^−1)/ 1−0.1z^(−1)−0.2z^−2
Find a, b, c, d.
(Q2) Find the inverse z-transform of X(z)

この問題のQ1はa=2 b=1 c=7 d=-0.1となりました。

Q2は逆z変換を行うと思うのですがやり方がわからないので解説お願いします。

No.2 回答者： mpcsp079goo 回答日時： 2024/05/14 04:17

X(z) = (5+1.1z^(−1)−0.5z^(−2) −0.2z^(−3))/( 1−0.1z^(−1) −0.2z^(−2))

= (5z^(３)+1.1z^(２)−0.5z^(１) −0.2)/(z^(３) −0.1z^(２) −0.2z^(１))

X＝A／B＝C＋D
Dはあまり
下図です

No.1 回答者： Andro 回答日時： 2024/05/09 20:31

## デジタル信号処理における逆z変換：問題Q2の解答と解説

**問題**

与えられたz変換関数X(z)の逆z変換を求めよ。

**解答**

問題Q1で求めたパラメータを用いて、部分分数分解を用いて逆z変換を行います。

**1. 部分分数分解**

まず、与えられたX(z)を以下のように部分分数分解します。

```
X(z) = (5 + 1.1z^(-1) - 0.5z^(-2) - 0.2z^(-3)) / (1 - 0.1z^(-1) - 0.2z^(-2))
= A / (1 - 0.2z^(-1)) + B / (1 + 0.5z^(-1))
```

ここで、AとBは定数です。

各分母を因数分解すると、

```
1 - 0.2z^(-1) = (1 - 0.1z^(-1))(1 - 0.1z^(-1))
1 + 0.5z^(-1) = (1 + 0.5z^(-1))(1 - 0.5z^(-1))
```

となります。

これらの因数分解を用いて、AとBを以下の式で求めます。

```
A = X(z) * (1 + 0.5z^(-1)) / (1 - 0.2z^(-1)) | z = 0.1
B = X(z) * (1 - 0.1z^(-1)) / (1 + 0.5z^(-1)) | z = -0.5
```

ここで、`| z = a`は、zをaに代入することを意味します。

各係数を計算すると、

```
A = 7
B = -0.1
```

となります。

**2. 逆z変換**

部分分数分解された式を用いて、逆z変換を行います。

```
x[n] = z^(-1) * [A / (1 - 0.2z^(-1)) + B / (1 + 0.5z^(-1))]
```

ここで、`z^(-1)`は逆z変換を表します。

各項を逆z変換すると、

```
x[n] = 7 * (0.1)^n * u[n] - 0.1 * (-0.5)^n * u[n]
```

ここで、`u[n]`は単位ステップ関数です。

**結果**

以上の手順により、問題Q2の逆z変換は、

```
x[n] = 7 * (0.1)^n * u[n] - 0.1 * (-0.5)^n * u[n]
```

となります。

**解説**

* **部分分数分解**: X(z)を、より簡単な2つの部分分数に分けることで、逆z変換を容易にします。
* **逆z変換**: 部分分数分解された各項を、z変換の逆変換である逆z変換を用いて時間領域の信号に変換します。
* **単位ステップ関数**: `u[n]`は、n ≥ 0 のとき1、n < 0 のとき0となる関数です。

**補足**

* 上記の解答は、1つの解法例です。問題によっては、異なる解法も存在する可能性があります。
* 逆z変換は、z変換の逆変換であり、時間領域の信号をz変換領域の信号に変換します。

この解答が、問題解決に役立つことを願っています。