方程式の解の展開過程をご教授お願いします。

これは、試験問題ではなく、経済学の研究会における、数理的証明の方程式の説明資料ですが、知識不足なために、方程式の解とその展開過程が理解できませんので、ご教示ください。

経済が鉄産業と小麦産業の2つの産業で構成され、また、生産技術がAとBである場合に、各係数が、写真のような産業連関表で示される場合、生産技術がAとBのそれぞれの「価格方程式」は下記のようになると、示されています。

１．生産価格、賃金率、利潤率は全て「小麦」で測られるとすると、
生産技術がAとBのそれぞれの「価格方程式」は下記のようになる。

技術A
鉄　　0.5p＋0.5pr＋0.5w=p
小麦　0.8p＋0.8pr＋1.6w=1

技術B
鉄　　0.55p＋0.55pr＋0.22w=p
　小麦　p＋pr＋2w=1

ただし、
P：鉄１単位の生産価格。「生産価格」とは、「産業連関構造を持続的に維持することができる諸商品の交換比率」。
r：利潤率。
w：賃金率。

である。

２．よってそれぞれの賃金・利潤方程式は下記のようになる。
技術A　　w={5(r－1)}/{4(r－3)}}
　（投稿者注：上式の末尾の”}”は不要かと思いますが・・）
技術B 　 w={5(11r－9)}/{8(11r－14)}

この方程式が導出される展開過程を教えてください。

３．さらに、技術A、Bのdw/drを求めれば下記のようになり、賃金利潤曲線はともに「右下がり」の曲線となることがわかる、と説明されています。この方程式展開過程を教えてください。

技術A dw/dr=－5/{2(r－3)²}<0
技術B dw/dr=－275/{8(11r－14)²}<0

よろしくお願いいたします。

No.2 ベストアンサー 回答者： gootarohanako 回答日時： 2024/05/18 11:59

展開過程とは

たとえば、技術Aについていえば
鉄　　0.5p＋0.5pr＋0.5w=p
小麦　0.8p＋0.8pr＋1.6w=1
から
　w={5(r－1)}/{4(r－3)}}
となることを導くことでしょうか？それなら、以下のように第1式からｐをｒとｗの関数として表し、それを第2式に代入してｐを消去すれば得られるでしょう。

まず第1式の右辺の0.5ｐ+0.5prを左辺に移項して整理したあと両辺を0.5で割ると
w=(1-r)p
よって
p=w/(1-r)
を得る。
これを第2式
0.8p(1+r) + 1.6w = 1
よって
p(1+r) + 2w = 5/4
の左辺のｐに代入すれば、
(w/(1-r))(1+r) + 2w = 5/4
w(1+r)/(1-r) + 2w = 5/4
w(3-r)/(1-r)=5/4
w=(5/4)(1-r)/(3-r）=(5/4)(r-1)/(r-3)
と求める式を得る。
技術Bについても同じように導かれる。トライしてみてください。

この回答へのお礼

大変に丁寧にありがとうございました。
なるほど、よく理解できまた。助かりました。
一つ自信が付きました。

お礼日時：2024/05/19 18:36