直径2a、高さhの円柱の重心を通る対称軸に関する慣性モーメントIx、Iy、Izを求める問題についてわ

直径2a、高さhの円柱の重心を通る対称軸に関する慣性モーメントIx、Iy、Izを求める問題についてわかりません。

ここでは∮をインテグラルとします。

Iz=∮r^2dm dm=ρ2πrdr
　=∮(0〜a)2πρr^3dr
　=πρa^4/2 M=πa^2ρなので
　=M a^2/2

I=d^2M+Igを用いて
ここからよくわかりません
dIx=z^2dm+dma^2/4

よってIx=∮dIx=∮(-h/2〜h/2) z^2dm+∮(-h/2〜h/2) dma^2/4=M(h^2+3a^2)/12

対称性よりIy=Ix=M(h^2+3a^2)/12

ここからよくわかりませんと言うところの式から教えていただきたいです。Ix=∮dIxの式も途中計算を詳しく書いて欲しいです。

対称性については大丈夫ですお願いします

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2024/06/12 23:25

Iz はよいようですね。

　

＞I=d^2M+Igを用いて

いや、Ix, Iy も重心を通る軸周りの慣性モーメントなので、平衡軸の定理は使いません。

重心（円柱の円の中心、長手方向の中点）を通る x軸、y軸の周りの慣性モーメントなので、その回転軸からの「距離 r」を求めるのです。
座標 (x, y, z) の「x軸からの距離」は
　r^2 = y^2 + z^2　　　　①
ですね。
その開店時期からの距離にある「微小質量 dm」を「質点の慣性モーメント」として表し、それを「円柱」全体に積分すればよいです。

「x 軸周りの角度」を θ（y 軸方向を θ=0 とする）とすれば
　y = rsinθ
なので、①は
　r^2 = r^2･sin^2(θ) + z^2
ということになります。
また、微小質量は
　dm = ρdxdydz = ρrdrdθdz
と表せます。
これらを
　r：0～a, θ：0～2π, z：-h/2～h/2
で積分すればよいです。

具体的には、下記などを参照してください。テキストにも書いてあると思いますよ。
↓
https://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/physics/categ …
https://f-tower.com/512/
https://moment-of-inertia.jp/moi/circular_cylind …