フーリエ変換

F(k) = ∫f(ｘ)exp(-ikx)dx = 0
ならf(x) = 0
は言えると限らないけど
for ∀k ∈ R
ならいえるか？

No.4 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/07/11 19:09

＞ いんちきだよ？

∫f(ｘ)exp(-ikx)dx の ∫ を広義積分と見ることがインチキだというなら、
もっと自然に、この ∫ をルベーグ積分と見てみましょうか。

すると、∫f(ｘ)exp(-ikx)dx = 0 は f(ｘ)exp(-ikx) がほとんど至るところ 0
であることとなり、それは f(x) がほとんど至るところ 0 であることと同値です。
No.2 よりも遥かに奇妙な反例が山ほど挙がることになります。

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/07/09 20:18

#1訂正です

fが連続関数のとき

for ∀k ∈ R

F(k) = ∫{-∞～∞}f(ｘ)exp(-ikx)dx=0

逆変換すれば

f(x) = ∫{-∞～∞}F(k)exp(ikx)dk=0

と
(fが連続のときに限り)
いえる

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/07/09 19:41

言えない。

フーリエ変換の積分は、通常、広義積分で考えるから、
f(0) = １,
x ≠ 0 のとき f(x) = 0
で定義される f(x) に対して

∫[-∞,+∞]f(ｘ)exp(-ikx)dx
= ∫[-∞,0]f(ｘ)exp(-ikx)dx + ∫[0,0]f(ｘ)exp(-ikx)dx + ∫[0,+∞]f(ｘ)exp(-ikx)dx
= 0 + 0 + 0
= 0.　(もちろん、∀k∈R について)

これは、反例だよね。

この回答へのお礼

いんちきだよ？

お礼日時：2024/07/09 19:52

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/07/09 15:09

for ∀k ∈ R

F(k) = ∫{-∞～∞}f(ｘ)exp(-ikx)dx=0

逆変換すれば

f(x) = ∫{-∞～∞}F(k)exp(ikx)dk=0

といえる

この回答へのお礼

あってるってことですか？

お礼日時：2024/07/09 17:13