写真はロピタルの定理をε-δ論法を用いて証明したものについてですがらわからないことが3つあります。

写真はロピタルの定理をε-δ論法を用いて証明したものについてですがらわからないことが3つあります。
①なぜδをさらに小さくすると、青線のような不等式が成り立つのですか？
②どの部分の不等式を変形したら赤線の不等式が出てくるのですか？
③赤線の不等式が成り立つときなぜ定理が証明されたことになるのですか？

写真: https://d.kuku.lu/gvn8zg6cm

以上の３つについて回答おねがいします。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/07/19 14:10

もともとの lim f(x) = g(x) = 0 版のロピタルの定理を使って、

lim f(x) = g(x) = ∞ のとき
lim f(x)/g(x) = lim { 1/g(x) }/{ 1/f(x) }
　　　　　= lim { 1/g(x) }’/{ 1/f(x) }’
　　　　　= lim { -g’(x)/g(x)^2 }/{ -f’(x)/f(x)^2 }
　　　　　= lim { g’(x)/f’(x) }{ f(x)/g(x) }^2
　　　　　= lim { f(x)/g(x) }^2 / lim { f’(x)/g’(x) }
から
lim f’(x)/g’(x) = lim f(x)/g(x).
とかのほうが簡単じゃない？

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/07/19 10:44

任意の0<ε<1に対して,

あるδ>0が存在し,
a<x<a+δとなる任意のxに対して

A-ε<{f(x)-f(a+δ)}/{g(x)-g(a+δ)}<A+ε

である.

f(x)/g(x)=({f(x)-f(a+δ)}/{g(x)-g(a+δ)}){1-g(a+δ)/g(x)}+f(a+δ)/g(x)

lim{x→a+}f(x)=lim{x→a+}g(x)=∞だから
{f(a+δ)+g(a+δ)}/ε>0に対して
あるδ1が存在し
a<x<a+δ1となる任意のxに対して
g(x)>{f(a+δ)+g(a+δ)}/ε
1-g(a+δ)/g(x)>1-ε
0<f(a+δ)/g(x)<ε
だから
δ'=min(δ,δ1)
とすれば
a<x<a+δ'となる任意のxに対して
a<x<a+δ'<a+δ1だから

1-g(a+δ)/g(x)>1-ε
0<f(a+δ)/g(x)<ε

a<x<a+δ'<a+δだから

A-ε<{f(x)-f(a+δ)}/{g(x)-g(a+δ)}<A+ε

↓これに1-ε<1-g(a+δ)/g(x)<1　をかけると

(A-ε)(1-ε)<({f(x)-f(a+δ)}/{g(x)-g(a+δ)}){1-g(a+δ)/g(x)}<A+ε

↓これに0<f(a+δ)/g(x)<εを加えると

(A-ε)(1-ε)<({f(x)-f(a+δ)}/{g(x)-g(a+δ)}){1-g(a+δ)/g(x)}+f(a+δ)/g(x)<A+ε+ε

↓f(x)/g(x)=({f(x)-f(a+δ)}/{g(x)-g(a+δ)}){1-g(a+δ)/g(x)}+f(a+δ)/g(x)だから

A-ε(A+1-ε)=(A-ε)(1-ε)<f(x)/g(x)<A+ε+ε