前にも質問したのかもしれないけど

Question

難しけめねの解放がのってたけど自分でできるかわからないので簡単な解法を考えてほしいです。

Vを複素ベクトル空間とし、x1,...,xn∈Vが一次独立であるとする。aを複素数とする時、x1-ax2, x2-ax3, ... , xn-ax1がVで一次独立であるためのaに関する必要十分条件を求めてください。

syotao · Accepted Answer

結局
x1-ax2, x2-ax3, ... , xn-ax1が一次従属の条件が
n次行列式
det　1,0,0,･･･     0,-a　＝0　ということです。
      -a,1,0,･･･    ,0, 0
       0,-a,1,･･･    0, 0
       0, 0,-a,1,･ ･ 0, 0
          ････････････
       0, 0,･･･････ -a,1
この行列式はi行目をa倍して2行目に加えて次数を1つ落としていく、
そしてあらたな行列式の1行目をa倍して2行目に加えて次数を1つ
落としていく.....をくりかえして最終的に2次行列式
det　1,-a^(n-1)  =1-a^n になるので
      -a,  1
求める一次独立の条件はa^n≠1　になります。

syotao · Answer

連立方程式のとき方で出てくるというわけです。
定数項＝0の連立方程式の係数行列式Dが≠0なら
クラメールの公式から0しか解が出てこない、
一方、D=0ならDのrank数が方程式の未知数の数より小さいので
解はある一次独立な解の一次結合の形で表わされる、
この一次独立な解は少なくとも1つは0でない。
以上から、定数項＝0の連立式のnon trivialな解が存在する条件が
D=0　というわけです。

syotao · Answer

non trivial な解をもつ条件が
係数の行列式＝0　というのはよくでてきますねぇ、
回答してて、そうおもいました（^^);

syotao · Answer

行列式の1行目がずれたなあ泣

cage64 · Answer

>難しけめねの解放
が何だかわからないと答えようがない。

変換行列を書いて、その行列式を、１列目で展開して求めれば　1-a^n になるから、求める条件は a^n≠1だが、これが難しめだといわれるとどれも似たり寄ったりだと思う。

mtrajcp · Answer

Vを複素ベクトル空間とし、x1,...,xn∈Vが一次独立であるとする。
aを複素数とする時、

s1(x1-ax2)+s2(x2-ax3)+...+sn(xn-ax1)=0
とすると
(s1-asn)x1+(s2-as1)x2+(s3-as2)x3+...+(sn-as(n-1))xn=0

s1=asn
s2=as1
s3=as2
...
sn=as(n-1)

s1=aas(n-1)=a^3s(n-2)=…=(a^n)s1

(a^n-1)s1=0

a^n≠1のとき
s1=0
s2=as1=0
s3=as2=0
…
sn=as(n-1)=0
だから

(x1-ax2),(x2-ax3),,...,(xn-ax1)がVで一次独立である

a^n=1のとき
k=1～nに対して
a^k≠0だから

sn=1とすると
s1=a≠0
s2=a^2≠0
s3=a^3≠0
…
s(n-1)=a^(n-1)≠0
sn=1≠0

だから
(x1-ax2),(x2-ax3),,...,(xn-ax1)がVで一次従属

∴
(x1-ax2),(x2-ax3),,...,(xn-ax1)がVで一次独立であるためのaに関する必要十分条件は

a^n≠1

前にも質問したのかもしれないけど

結局

連立方程式のとき方で出てくるというわけです。

non trivial な解をもつ条件が

行列式の1行目がずれたなあ泣

>難しけめねの解放

Vを複素ベクトル空間とし、x1,...,xn∈Vが一次独立であるとする。

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