前にも質問したのかもしれないけど

難しけめねの解放がのってたけど自分でできるかわからないので簡単な解法を考えてほしいです。

Vを複素ベクトル空間とし、x1,...,xn∈Vが一次独立であるとする。aを複素数とする時、x1-ax2, x2-ax3, ... , xn-ax1がVで一次独立であるためのaに関する必要十分条件を求めてください。

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/07/19 19:43

Vを複素ベクトル空間とし、x1,...,xn∈Vが一次独立であるとする。

aを複素数とする時、

s1(x1-ax2)+s2(x2-ax3)+...+sn(xn-ax1)=0
とすると
(s1-asn)x1+(s2-as1)x2+(s3-as2)x3+...+(sn-as(n-1))xn=0

s1=asn
s2=as1
s3=as2
...
sn=as(n-1)

s1=aas(n-1)=a^3s(n-2)=…=(a^n)s1

(a^n-1)s1=0

a^n≠1のとき
s1=0
s2=as1=0
s3=as2=0
…
sn=as(n-1)=0
だから

(x1-ax2),(x2-ax3),,...,(xn-ax1)がVで一次独立である

a^n=1のとき
k=1～nに対して
a^k≠0だから

sn=1とすると
s1=a≠0
s2=a^2≠0
s3=a^3≠0
…
s(n-1)=a^(n-1)≠0
sn=1≠0

だから
(x1-ax2),(x2-ax3),,...,(xn-ax1)がVで一次従属

∴
(x1-ax2),(x2-ax3),,...,(xn-ax1)がVで一次独立であるためのaに関する必要十分条件は

a^n≠1